2020版高考数学第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题检测.docx

第9讲 圆锥曲线中的证明、范围（最值）问题 基础题组练1过椭圆C：1(ab0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F，若k，则椭圆离心率的取值范围为()A.B.C. D.解析：选B.由题意知：B，所以k1e.又k，所以1e，解得e0，b0)的右焦点F作圆x2y2a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是()A. B.C2 D.解析：选A.因为OMPF，且MFPM，所以OPOF，所以OFP45，所以|OM|OF|sin 45，即ac，所以e.3(2018高考浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得即x12x2，y132y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)244，所以当m5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案：54已知椭圆C：1的右焦点为F，P为椭圆C上一动点，定点A(2，4)，则|PA|PF|的最小值为_解析：如图，设椭圆的左焦点为F，则|PF|PF|4，所以|PF|4|PF|，所以|PA|PF|PA|PF|4.当且仅当P，A，F三点共线时，|PA|PF|取最小值|AF|5，所以|PA|PF|的最小值为1.答案：15已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值解：(1)由题意得解得a，b1.所以椭圆M的方程为y21.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x26mx3m230.所以x1x2，x1x2.|AB|.当m0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.6(2018高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围解：(1)设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程4即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，因此，PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因为x1(x0b0)经过点，离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)设点A，F分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F作直线交椭圆于C，D两点，求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点)解：(1)由题设得解得所以椭圆E的方程为1.(2)设直线CD的方程为xky1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，与椭圆方程1联立得(3k24)y26ky90.所以y1y2，y1y2.所以S四边形OCADSOCASODA2|y1|2|y2|y1y2|(其中t，t1)因为当t1时，y3t单调递增，所以3t4，所以S四边形OCAD3(当k0时取等号)，即四边形OCAD面积的最大值为3.2(2018高考全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2，0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2，2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.3设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l(异于x轴)与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，求的值解：(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x1，点A的坐标为或，所以AM的方程为yx或yx.(2)当l与x轴垂直时，OMAOMB，所以1.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线MA，MB的斜率之和为kMAkMB，由y1k(x11)，y2k(x21)得kMAkMB.将yk(x1)代入y21，得(2k21)x24k2x2k220，所以x1x2，x1x2.则2kx1x23k(x1x2)4k0，从而kMAkMB0，故MA，MB的倾斜角互补，所以OMAOMB，所以1.综上可得1.4.如图，已知离心率为的椭圆C：1(ab0)经过点A(2，0)，斜率为k(k0)的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点(1)求椭圆C的方程；(2)若点E关于x轴的对称点为H，过点E且与OP垂直的直线交直线AH于点M，求MAP面积的最大值解：(1)由已知得，解得，所以椭圆C的方程为1.(2)椭圆C的左顶点A(2，0)，设l的方程：yk(x2)，则E(0，2k)，H(0，2k)，由，得(2k21)x28k2x8k240，64k44(2k21)(8k24)160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x1x2，x1x2，则x0(x1x2)，y0k(x02)k，kOP，直线EM的斜率k