挑战高考数学压轴题轻松入门篇

华东师范大学出版社 致亲爱的读者 无论中考还是高考?经过三轮复习之后?能拉开差距的其实只有压轴题? 最后的竞争?归根结底就是看你是否做对了压轴题? 但压轴题有点难?如何攻关? 为了帮助备考的莘莘学子攻克压轴题?圆名校梦?我们邀请了众多一线名师?打 造了这套?挑战压轴题?丛书?深受考生欢迎?为了让备考更有针对性?我们在原有? 本?压轴题?的基础上进行充分拓展?布阵压轴题三部曲?重磅推出? ? ? ?版?轻松入门 篇?和?强化训练篇?系列?该系列丛书涉及中高考数学?物理?化学三门学科?共计 ? ?种? ?挑战压轴题?原有系列?本书?是一套压轴题的生动教材?有视频讲解的精彩点 拨?有几何画板的动感体验?有了她?就相当于把名师请回家? ?挑战压轴题?之轻松入门篇则是一套压轴题的入门教程?全书内容设置由浅入 深?由易到难?层层推进?把时间从考前两个月提前到考前两年?早准备?心里早有底? 当你读完这套书?做完这些题会有一种轻松的感觉?其实? ?压轴题?并不这么难? ?挑战压轴题?之强化训练篇更像是压轴题的配套练习册?如何避免一听就懂?一 看就会?一做就错的窘境?题海战术不可取?书本的理解?终究是别人的经验?要转化 为自己的知识和技能?适度训练很有必要?本系列精选真题?模拟题以及提供了部分 自创题?并配有详细的答案解析供查漏补缺? 愿这套高质量的丛书能够帮助你顺利通过中高考升学考试?迈入新的理想校园? 挑战压轴题? ? ? ? ? ? ? ? ? 华东师范大学出版社教辅分社 致亲爱的读者? 编 写 说 明 高考数学压轴题是学生既畏惧又难以放弃的一块?鸡肋? ?很多同学想?反正也不 指望考清华?北大?又没必要考满分?所以在复习备考过程中彻底放弃压轴题?确实? 压轴题信息量大?文字多?审题难?或因数学情景新颖?或有时条件隐蔽?甚至要经过 推理计算才能看出其中的特殊性?或因过程多?情景变化不断?导致列出的方程多?数 学解题过程复杂?甚至有的时候需要用到不常用的数学方法?难以想到?但不管怎样? 放弃压轴题绝对不是良策? 为了帮助同学们熟悉压轴题的特征及题型?找到解决这类题的一般程序和方法? 化解做题难度?并通过一定的训练提升做题的信心?我们把原本一道道很难的压轴 题?通过分散它们的难点?化大题?难题为小题?容易题?本书所选择的压轴题其实是 高考中? ? ?的较难题?选择?填空?计算题型都有?针对面有所扩大?让读者全面掌握 压轴题的命题意图?三维要求及解题策略?为此?我们在原有系列的基础上继续拓展 编写了?挑战压轴题?之轻松入门篇和强化训练篇? ?挑战压轴题?之轻松入门篇按知识网络和数学方法并结合压轴题热点题型进行 编排?分解答型压轴题和客观型压轴题?对每一小专题先作解法综述?再以分级例题 的方式逐步引出解题之方法策略?从基础题开始?建立解题基础?再对提高题进行解 题分级转化?相当于把一道大题分成几道小题?减少了步长?化解了难度?再以压轴题 为例题?提出难点分化策略?展示满分解答?帮助学生建立起解决问题的思维程序?让 人觉得一道综合题无非是几道小题?基本题的汇集整合?掌握了做题的程序?也就减 少了畏惧心理?最后配置真题试做?所选题目有层次?供学生逐级训练?以便最终能直 击压轴题? ?挑战压轴题?之强化训练篇纯粹作为配套训练使用?题目来源分为三类?包括真 题?模拟题?创新题?其设置比例大概为? ?真题主要从近?年各地高考试卷中 遴选出来?模拟题主要为近两年各地考前的一模?二模试卷?具有一定的典型性?创新 题主要是我们根据命题趋势对一些题目进行适当的改编?建议学生在考前?个月有 计划地进行练习?在做题过程中?先不要看答案?独立思考完成?然后根据自己写的步 骤并参照答案进行查漏补缺?在彻底弄懂的基础上通过这样透彻的练习?才能提高准 确性和做题速度? 最后?由于作者水平有限?对书里存在的问题?欢迎读者批评指正? 编?者 编写说明? ?目?录 第一部分?解答型压轴题 ? 第?章?解析几何? 基本问题? ?求已知曲线的标准方程? 基本问题? ?求参数取值范围? 基本问题? ?最值问题? ? 基本问题? ?定点?定值问题? ? 基本问题? ?求轨迹方程问题? ? 第?章?函数? ? 基本问题? ?讨论函数的单调性问题? ? 基本问题? ?求函数的极值?最值问题? ? 基本问题? ?恒成立?恰成立?能成立问题? ? 基本问题? ?函数零点问题? ? 第?章?数列? ? 基本问题? ?判断或证明等差?等比数列? ? 基本问题? ?求数列的通项公式? ? 基本问题? ?数列求和? ? 基本问题? ?研究数列的特性? ? 基本问题? ?数列中的不等式问题? ? 第?章?数学期望? ? 基本问题? ?求数学期望? ? 第?章?一般能力问题? ? 一般能力? ?学习能力? ? 一般能力? ?探究能力? ? 一般能力? ?应用能力? ? ? 一般能力? ?创新能力? ? ? 目?录? ?第二部分?客观型压轴题 ? ? ? 基本方法? ?直接法? ? ? 基本方法? ?特殊值法? ? ? 基本方法? ?数形结合? ? ? 基本方法? ?等价转化法? ? ? 基本方法? ?分析法? ? ? 压轴题转化训练答案? ? ? ? 挑战高考数学压轴题?轻松入门篇 书 书 书 第一部分 解答型压轴题 第?章?解析几何 基本问题? ?求已知曲线的标准方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 求已知曲线?如直线?圆?椭圆?双曲线?抛物线?的标准方程?可以有效地考查学生对圆锥 曲线基本思想和基本方法掌握情况?同时此类问题可以在直线与圆锥曲线?圆锥曲线间设计综 合题目?还可以很好地考察学生的分析问题和解决问题能力?因此常常作为高考压轴题出现? 在? ? ? ? ? ? ?年全国高考压轴题中?可转化为求已知曲线的标准方程的考题分布规律 如下? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 省?市?北京宁夏湖北 全国?山东江西全国?浙江陕西 理科 ? ? 求直线 方程 ? ? 求双曲 线方程 ? ? 求抛物 线方程 ? ?求 椭 圆?抛物线的 方程 ? ? 求圆的 方程 ? ? 求直线 方程 文科 ? ? 求直线 方程 ? ? 求直线 方程 ? ? 求双曲 线方程 ? ?求 椭 圆?抛物线的 方程 ? ? 求圆的 方程 ? ? 求直线 方程 求已知曲线?如直线?圆?椭圆?双曲线?抛物线?的标准方程问题?常用解法如下? 求圆锥曲线方程通常使用待定系数法?若能根据条件发现符合圆锥曲线定义时?则用定 义法? 一?待定系数法?求已知曲线类型的曲线方程问题?常采用待定系数法?即?先定形?后定 式?再定量? 定形? ? ?指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置? 定式? ? ?根据?形?设方程的形式?注意曲线系方程的应用?如当椭圆的焦点不确定在哪个 坐标轴上时?可设方程为? ? ? ? ? ? ? ? 定量? ? ?由题设中的条件找到?式?中特定系数的等量关系?通过解方程得到量的大小? 例? ?求圆心在?轴上?半径为?且过点?的圆的方程? 解?设圆心坐标为? ?则由题意知? ? ?槡 ? ?解得?故圆的方 ? 挑战高考数学压轴题?轻松入门篇 程为? ? ? ? ? ? 点评?求圆的方程可采取?待定系数法? ?不论圆的标准方程还是一般方程?都有三个字母 ? ?或?的值需要确定?因此需要三个独立的条件?题设中给出了确定圆的条件? ? ?半径? ?圆心位置? ?过定点?故可设出圆的标准方程? 二?用定义法求曲线的方程? 求直线?圆?椭圆?双曲线?抛物线的标准方程也可以借助其定义来确定方程中的系数? 例? ?求以椭圆? ? ? ? ? ? ? ?的焦点为焦点?且经过点? ? 槡? ? ? ? ? 的椭圆的标准方程? 解?由已知? ? ?槡?所求椭圆焦点为? ? ? ? ?解法一?因?点在椭圆上?由椭圆定义? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ?槡 ? ? ?槡? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? 得?槡?所求椭圆方程为? ? ? ? ? ? ? ? ?解法二?设所求椭圆方程为? ? ? ? ? ? ?则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? 故所求椭圆方程为? ? ? ? ? ? ? ? 点评?求椭圆的标准方程?只需确定?的值?解法一用了椭圆的定义求椭圆方程?解法 二用了待定系数法求椭圆方程? 高考真题? ? ? ? ?陕西?已知椭圆? ? ? ? ? ?椭圆? ?以?的长轴为短轴?且与?有 相同的离心率?求椭圆?的方程? ?设?为坐标原点?点?分别在椭圆?和?上? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求直线? ?的方程? ?分析与转化? ?略? ? ?欲求直线? ?的方程?用待定系数法?先定式? ?根据已知可设 直线? ?的方程为? ?此处?为待定系数?再定量?确定?的值?由 ? ? ? ? ? ? ? ?可得方程 从而可确定?的值? 解? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?椭圆?的方程为? ? ? ? ? ? ? ?设?两点坐标分别为? ? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ?知?三点共线且不在?轴上?因此可设直线? ?的方程为? ? 将? ?代入? ? ? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? 将? ?代入 ? ? ? ? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ?得? ? ? ? ?即 ? ? ? ? ? ? ? ? 解得?故直线? ?的方程为?或者? 第一部分?解答型压轴题? 高考真题? ? ? ? ?江西?已知抛物线? ? ? ? ? ?经过椭 圆? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的两个焦点? ? ?求椭圆?的离心率? ? ?设? ?又?为?与?不在?轴上的两个交 点?若?的重心在抛物线?上?求?和?的方程? ?分析与转化? ?略? ? ?本题同时求椭圆?抛物线的方程?即需要确定?的值?故只 要求解根据已知条件列出的关于?的方程组? 解?略?因为抛物线?经过椭圆?的两个焦点? ? ? 所以? ?即? ? ?故? ? ? ? ? ? ?可知? ? ?椭圆? ?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? ?联立抛物线?的方程? ? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? 或?舍去? ?所以?槡 ? ? ? 即? ?槡 ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ?所以?的重心坐标为? ? 因为重心在?上?所以? ?得? ?所以? ? ? 所以抛物线?的方程为? ?椭圆? ?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?浙江理?已知抛物线? ? ?圆? ? ? ? ?的圆心为点? ? ?求点?到抛物线?的准线的距离? ? ?已知点?是抛物线?上一点?异于原点? ?过点?作圆?的两 条切线?交抛物线?于?两点?若过?两点的直线?垂直于? ? 求直线?的方程? ? ? ? ? ? ? ?全国?双曲线的中心为原点?焦点在?轴上?两条渐近线分别为?经过 右焦点?垂直于? ?的直线分别交?于?两点?已知? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?成等差数列? 且 ? ? ? ?与 ? ? ? ?同向? ? ?求双曲线的离心率? ? ?设? ?被双曲线所截得的线段的长为?求双曲线的方程? ? 挑战高考数学压轴题?轻松入门篇 基本问题? ?求参数取值范围 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 求参数取值范围问题是圆锥曲线中的一类重要的基本问题?这类问题可以附着很多知识 点?在知识的交汇处设计题目?综合性强?变量多?涉及知识面广?难度大?可以很好地考察学生 分析问题和解决问题的能力?因此常常做为高考压轴题出现? 在? ? ? ? ? ? ?年全国高考压轴题中?求参数取值范围问题的考题分布规律如下? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 省?市?上海天津福建陕西浙江上海湖北上海 理科? ? ? ? 文科 ? ? ? ? ?文? ? ? 求参数取值范围问题常用解法如下? 一?构造含参数的不等式?组?求解? 例? ?已知椭圆?的方程为? ? ? ? ?双曲线? ?的方程为? ? ? ? ? ?若直线? ? ? ?槡?与?及?都恒有两个不同的交点?且?与?的两个交点?和?满足 ? ? ? ? ? ? ? ? ?其中?为原点? ?求?的取值范围? 第一部分?解答型压轴题? 解?将? ?槡?代入? ? ? ? ? ?得? ? ? ? 槡? ? ? 由直线?与椭圆?恒有两个不同的交点得? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ? 将? ?槡?代入? ? ? ? ? ?得? ? ? ? 槡? ? ? 由直线?与双曲线?恒有两个不同的交点?得 ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? 且? ? ? ? ? 设? ? ? ?则? 槡? ? ? ? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ?而? ? ?槡? ? ?槡? ? ? ? ?槡? ? ? ?槡 ? 槡? ? ? ? ? ? ? 于是? ? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ? ? ? ? 解此不等式得? ? ? ? ? ?或? ? ? ? ? ? 由?得 ? ? ? ? ? ? ? 或? ? ? ? ? ? ? 故?的取值范围为 ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? 点评?本题利用已知条件 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 和? ? ? ?得到不等式组?通过解不等式组 从而得到参数取值范围? 例? ?已知一列椭圆? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若椭圆? ?上有一点?使?到 右准线? ?的距离?是?与?的等差中项?其中?分别是?的左?右焦点?求? 的取值范围? ? ? 解?由题设及椭圆的几何性质有? ? ? ? ? ? ?故? ? ?又? ? ? ? 槡?则 右准线方程为? ? ? 因此?由题意? ?应满足? ? ? ? ? ?即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解之得? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ? 槡? ? ?从而对任意? ? ?槡 ? ? ? 点评?本题用曲线中几何量的有界性构造不等式?即? ? ? ? ? ? ? 例? ?直线? ?与双曲线? ? ?的右支交于不同的两点?求实数?的取值 范围 ? ? 解?将直线方程代入双曲线方程?得? ? ? ? ? ?依题意上述方程应有两个 ? 挑战高考数学压轴题?轻松入门篇 不等正实根?于是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得?的取值范围为?槡? 点评?对于直线与圆锥曲线相交?求参数?的取值范围?一般都是将直线方程代入曲线方 程?利用一元二次方程判别式及根的分布来构造含参变量的不等式?但当一元二次方程的二 次项系数含参数时需分类讨论? 二?构造函数?转化为求函数的值域? 例? ?设直线?过点? ?与椭圆? ? ? ? ? ? ?顺次交于?两点?且 ? ? ? ? ? ? ? ?试 求?的取值范围? 解?当直线?垂直于?轴时?可求得? ? 当?与?轴不垂直时?设? ? ? ?直线?的方程为? ?代入椭圆方 程?消去?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解之得? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? 因为椭圆关于?轴对称?点?在?轴上?所以只需考虑? ? 的情形? 当? ? 时? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? 由? ? ? ? ? ? ? ? ?解得? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? 综上? ? 点评?在? ? ? 中?有两个变量?这两个变量的范围不好控制?所以想到利用第 ?个变量? ? ?直线? ?的斜率?问题就转化为如何将?转化为关于?的表达式?到此为 止?将直线方程代入椭圆方程?消去?得出关于?的一元二次方程?其求根公式呼之欲出? 三?利用数形结合? 例? ?已知曲线? ? ? ? ?与直线? ?没有公共点? 求实数?的取值范围? 解?作出方程? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所表示的曲 线?如图所示? 由图观察可得? 点评?将求参数范围问题转化为曲线几何意义?再结合曲线 第一部分?解答型压轴题? 分析求解?数形结合常常可使复杂问题简单化? 高考真题? ? ? ? ?天津?已知中心在原点的双曲线?的一个焦点是? ?一条渐 近线的方程是槡? ? ? ? ? ?求双曲线?的方程? ? ?若以? ? ?为斜率的直线?与双曲线?相交于两个不同的点?线段?的垂 直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为? ? ? 求?的取值范围? ?分析与转化? ?略? ? ?欲求?的取值范围?需要建立函数关系式或造出不等式?因已 知有直线?与双曲线?相交?故可以利用判别式大于零得不等式?转化为解不等式问题? 解?设双曲线?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由题设得 ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? 解得 ? ? ? ? ? ? ? ? 所以双曲线方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设直线?的方程为? ? ? ?点? ? ?的坐标满足方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 将?式代入?式?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ?整理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 此方程有两个不等实根?于是? ? ? ? 且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 整理得? ? ? ? ? ? ? 由根与系数的关系可知线段?的中点坐标? ?满足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 从而线段?的垂直平分线方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 此直线与?轴?轴的交点坐标分别为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由题设可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 整理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 将上式代入?式得 ? ? ? ? ? ? ? ?整理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ?槡 ? ? 或? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? 高考真题? ? ? ? ?上海?已知椭圆? ? ? ? ? ?常数? ? ? ?点?是?上的动点?是 右顶点?定点?的坐标为? ? 挑战高考数学压轴题?轻松入门篇 ? ?若?与?重合?求?的焦点坐标? ? ?若?求? ?的最大值与最小值? ? ?若? ?的最小值为? ?求?的取值范围? ?分析与转化? ?略? ? ?要求? ?的最值?可转化为求? ? ?的最值?进而转化为求二 次函数的最值?欲求?的取值范围?因为? ? ?为?的二次函数?故转化为函数问题? 解?椭圆方程为? ? ? ? ? ? ?槡?槡?所以左?右焦点坐标分别为 ? ?槡? ?槡? ? ?椭圆方程为 ? ? ? ? ? ?设? ?则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故当? ? ? 时? ? ? ?槡 ? ? ?时? ? ? ? ? ? ? ?设动点? ?则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 此二次函数的图象开口向上?对称轴为? ? ? ? ? ? ? 又因为?要使? ? 最小总在?时取到?必须且只需? ? ?在? ?上单调递减?当且仅当 ? ? ? ? 又? ? 且 ? ? ? ?解得 ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ?福建?如图?椭圆? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的一个焦点是? ? ?为坐标原点? ? ?已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角 形?求椭圆的方程? ? ?设过点?的直线?交椭圆于?两点?若直线?绕点? 任意转动?恒有? ? ? ? ? ? ? ? ?求?的取值范围? 第一部分?解答型压轴题? ? ? ? ? ? ?上海?已知双曲线? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求双曲线?的渐近线方程? ? ?已知点?的坐标为?设?是双曲线?上的点?是点?关于原点的对称点?记 ? ? ? ? ? ? ?求?的取值范围? ? ?已知点?的坐标分别为? ? ? ? ? ? ?为双曲线?上在第 一象限内的点?记?为经过原点与点?的直线?为? ?截直线?所得线段的长?试将?表 示为直线?的斜率?的函数? 基本问题? ?最值问题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圆锥曲线的最值问题是解析几何中的重要问题之一?综合性较强?对学生来说是一个难 点?但同时又是数学高考中的热点问题?解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义?而且 要善于综合应用代数?平面几何?三角等相关知识? 在? ? ? ? ? ? ?年全国高考压轴题中?求最值问题的考题分布规律如下? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 省市 安徽北京福建湖北 全国 ? 山东浙江山东北京上海湖南北京广东山东浙江山东辽宁浙江 理科 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文科 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 求圆锥曲线的最值问题通常有两种类型? ?有关长度?面积等的最值或与之相关的一些问 题? ? ?圆锥曲线中几何元素的最值或与之相关的一些问题? 求最值常用的方法如下? ? ? 挑战高考数学压轴题?轻松入门篇 一?二次函数在闭区间上的最值? 例? ?求函数? ? ? ?在?上的最值? 解? ? ? ? ?此函数图象开口向上?对称轴? ?当? ? 时?距对称轴?最近?距对称轴?最远? 故?时? ? ? ?时? ? ? ? ?当 ? ? ? 时?距对称轴?最近?距对称轴?最远? 故?时? ? ? ? ? ?时? ? ? ? ?当 ? ? ? 时?距对称轴?最近?距对称轴?最远? 故?时? ? ? ? ? ?时? ? ? ? ?当 ? ?时?距对称轴?最近?距对称轴?最远? 故?时? ? ? ? ?时? ? ? ? 点评?求二次函数? ? ? ?不妨设? ? ?在? ?上的最大值或最小值? ? ?当? ? ? ?时?的最小值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的最大值是? ? 中的较大者?当? ? ? ?时?若? ? 由?在?上是增函数?则?的 最小值是? ?最大值是?若? ? ?由? ?在?上是减函数?则?的最 大值是? ?最小值是? 二?可化为? ? ? ? ?型函数的最值? 例? ?求? ? ? ? ? ? ? ? ?的值域? 解?令? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ? ?即?时? ? ? ? 槡? ?当?即?时取等号? 点评? ? ?分式函数求最值?通常化为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?恒正 第一部分?解答型压轴题? ? 或恒负的形式?然后运用基本不等式求最值?若遇等号取不到的情况?应结合函数? ? ? ? ? ? ?的单调性? 三?导数法? 例? ?求函数? ? ? ?在区间? ? ?上的最大值与最小值? 解?先求导数?得 ? ? ? ? ? 令 ? ? 即? ? ?解得? ? 导数 ? ? 的正负以及函数?的取值如下表? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?从上表知?当?时?函数有最大值? ?当?时?函数有最小值? ? 点评?在区间?上求函数?的最大值与最小值的步骤? ?求函数? 在?内的导数? ?求函数?在?内的极值? ?将函数?在?内的 极值与? ?比较?其中最大的一个为最大值?最小的一个为最小值? 四?三角函数最值? 例? ?求函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在? ? ? 上的最大值和最小值? 解? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? 由 ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得?槡?槡? ? ? ? ? ? ? ? 则当? ?时? ? ? ?当? ? ? ? 时? ? ? ?槡? 点评?把问题化归为? ? ? ? ? ?的形式?考虑?的取值范围?借助图象加以 解决? 高考真题? ? ? ? ?山东?如图?椭圆? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的离心率为槡 ? ? ?直线?和?所围成的矩形? ? ? ? 的面积为? ? ? ?求椭圆?的标准方程? ? ?设直线?与椭圆?有两个不同的交点 ?与矩形? ? ? ?有两个不同的交点?求 ? ? ? ?的最大值及取得最大值时?的值? ? ? 挑战高考数学压轴题?轻松入门篇 ?分析与转化? ?略? ? ?本题是求线段比的最值?可将线段比表示为?的函数?转化求 函数的最值?进而转化为求二次函数在闭区间上的最值? 解? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 矩形? ? ? ?面积为?即? ? 由?解得?所以椭圆?的标准方程是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ?由? ? ? ? ? ? ? 得?槡 ? ?槡? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? 槡? ? ?槡 ? 当?过?点时?当?过?点时? ? ?当?槡 ? ? ? 时?有? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? 其中?由此知当? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ?槡?时? ? ? ? ?取得最 大值? ?槡 ? ?当 ? ?槡?时?由对称性?可知当? ? ? 时? ? ? ? ?取得最大值 ? ?槡 ? ?当? ? 时? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ?当?时? ? ? ?取得最 大值? ?槡 ? 综上可知?当? ? 或?时? ? ? ? ?取得最大值 ? ?槡 ? 高考真题? ? ? ? ?山东?已知曲线? ? ? ? ? ? ?所围成的封闭图形的 面积为槡 ?曲线?的内切圆半径为 槡? ? ?记?为以曲线?与坐标轴的交点为顶点的椭 圆?求椭圆?的标准方程? ? ?设? ?是过椭圆?中心的任意弦?是线段? ?的垂直平分线?是?上异于椭圆中心 的点? ?若? ? ?为坐标原点? ?当点?在椭圆?上运动时?求点?的轨迹 方程? ?若?是?与椭圆?的交点?求?的面积的最小值? ?分析与转化? ?略?略 ? ? 求三角形面积的最值?可将三角形面积表示为?的 函数?转化求函数的最值?根据函数表达式特点可化为? ? ? ? ? ?型函数求最值? 第一部分?解答型压轴题? ? 解?可得椭圆的标准方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ?假设? ?所在的直线斜率存在且不为零?设? ?所在直线方程为? ? ? ? ? 设?解方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设? ?由题意知 ? ? ? ? ? ?所以? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ? ? ? 因为?是? ?的垂直平分线?所以直线?的方程为? ? ?即? ? ? 因此? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? ?所以? ? ? ? ? ? ?故? ? ? ? ? ? ? ? 又当?或不存在时?上式仍然成立? 综上所述?的轨迹方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当?存在且? ? 时?由?得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由?的方程为? ? ?联立 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当且仅当? ? ? ?时等号成立?即?时等号成立?此时 ?面积的最小 值是? ? ? ? 当? ? ? ? ?槡?槡? ? ? 当?不存在时? ? ? ? ?槡?槡? ? ? 综上所述?的面积的最小值为? ? ? ? ? 挑战高考数学压轴题?轻松入门篇 ? ? ? ? ? ? ?山东?在平面直角坐标系? ? ?中?是抛物线? ? ? ?的焦点? ? 是抛物线?上位于第一象限内的任意一点?过?三点的圆的圆心为?点?到抛物线? 的准线的距离为? ? ? ?求抛物线?的方程? ? ?是否存在点?使得直线?与抛物线?相切于点?若存在?求出点?的坐标?若 不存在?说明理由? ? ?若点?的横坐标为槡?直线? ? ?与抛物线?有两个不同的交点? ?与 圆?有两个不同的交点?求当? ? ? ? 时? ? ? ? ?的最小值? ? ? ? ? ? ? ?北京?已知椭圆? ? ? ? ? ? ? ?过点?作圆? ? ?的切线?交椭圆 ?于?两点? ? ?求椭圆?的焦点坐标和离心率? ? ?将? ?表示为?的函数?并求? ?的最大值? 基本问题? ?定点?定值问题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在几何问题中?有些几何量与参数无关?这就构成了定值问题?对满足一定条件的曲线上 两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点?这又构成了过定点问题?定点?定值 问题是高考中每年必考的内容? 在? ? ? ? ? ? ?年全国高考压轴题中?定点?定值问题的考题分布规律如下? 第一部分?解答型压轴题? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 省市浙江广东宁夏陕西重庆辽宁江西重庆四川山东山东四川浙江四川上海湖北江西 全国 新课 标 福建 理科 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文科 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题?可 设该直线?曲线?上两点的坐标?利用坐标在直线?或曲线?上?建立点的坐标满足的方程?组? ? 求出相应的直线?或曲线? ?然后再利用直线?或曲线?过定点的知识加以解决? 解决定值问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果?另一种是通过考查极端位置? 探索出?定值?是多少?然后再进行一般性证明或计算?即将该问题涉及的几何式转化为代数式 或三角形式?证明该式是恒定的? 一?定点问题? ? ?直线过定点问题? 例? ?设?是椭圆? ? ? ? ? ? ? ?上关于?轴对称的任意两个不同的点?连 结? ?交椭圆?于另一点?证明直线? ?与?轴交于定点? 解?由题意知直线? ?的斜率存在?设直线? ?的方程为? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设点? ? ? ?则?直线? ?的方程为? ? ? ? 令?得? ? ? ? ?将? ?代入? ? ? 挑战