2019年高中数学第4章点数统计案例4.4一元线性回归案例讲义（含解析）湘教版.docx

44一元线性回归案例读教材填要点1相关系数(1)定义：样本量是n的成对观测数据用(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)表示，用表示数据x1，x2，xn，用表示数据y1，y2，yn，用与分别表示和的均值，用sx表示的标准差，用sy表示的标准差，再引入sxy .当sxsy0时，称rxy为和的相关系数当rxy0，我们称和正相关；当rxy0.8时，认为有很强的相关关系2在一元线性回归模型中，变量y由变量x唯一确定吗？提示：不唯一y值由x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化3随机误差e产生的主要原因有哪些？提示：随机误差e产生的主要原因有：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在观测误差4回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？提示：不一定是真实值利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动等相关性检验 在某种产品表面进行腐蚀性刻线实验，得到腐蚀深度Y与腐蚀时间X之间相应的一组观察值，如下表：X(s)5101520304050607090120Y(m)610101316171923252946用散点图及相关系数两种方法判断X与Y的相关性自主解答(1)作出如图所示的散点图从散点图可看出腐蚀深度Y(m)与腐蚀时间X(s)之间存在着较强的线性相关关系(2)相关系数rxy，其中sxy 362.562.sx34.515 8，sy10.697 1.rxy0.98.显然|rxy|0.8，所以腐蚀深度Y与腐蚀时间X之间有很强的线性相关关系判断两个变量X和Y线性相关的方法：(1)画出散点图，呈条状分布，则X与Y线性相关(2)用公式求出相关系数，据其判断X与Y的相关性如果|rxy|0.8，则有很强的线性相关关系1要分析学生初中升学的数学成绩对高中一年级数学学习有什么影响，在高中一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩(x)和高中一年级期末数学考试成绩(y)(如表)：编号12345678910x63674588817152995876y65785282928973985675用散点图及相关系数两种方法判断x与y的相关性解：(1)入学成绩(x)与高一期末考试成绩(y)两组变量的散点图(如图)，从散点图看，这两组变量具有线性相关关系 (2)因为70，76，sxy189.4，sx15.729，sy14.339.由rxy，得rxy0.839 80.8.所以x与y有较强的线性关系线性回归分析 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的系列情况，得如下实验数据：天数t(天)34567繁殖个数y(千个)2.5344.56(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，预测t8时，细菌繁殖个数自主解答(1)由表中数据得5，4， yi108.5，则Styt1.7，S2.b0.85，ab0.25，回归方程式为y0.85t0.25.(2)将t8代入(1)的回归方程中得y0.8580.256.55.故预测t8时，细菌繁殖个数为6.55千个进行线性回归分析的关键是画出样本点的散点图，确定出变量具有线性相关关系，再求出回归直线方程如果x，y的线性相关关系具有统计意义，就可以用线性回归方程来作预测和控制2某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：摄氏度)之间有下列 数据：x21012y54221甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：yx2.8，yx3，y1.2x2.6.其中正确的是()ABCD解析：回归方程ybxa表示的直线必过点(，)，即必过点(0,2.8)，而给出的三个线性回归方程中，只有表示的直线过点(0,2.8)，故正确的是.答案：A一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下：零件数x(个)102030405060708090100加工时间y(分)626875818995102108115122(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程巧思(1)利用相关系数rxy判断；(2)利用最小二乘法求得a，b的值，进而求得回归方程妙解(1)列出下表，并用科学计算器进行计算.i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 64010 35012 200于是rxy0.999 8.所以y与x具有线性相关关系(2)设所求的回归直线方程为ybxa，那么由上表可得b0.668，ab91.70.6685554.96，即所求的回归直线方程为y0.668x54.96.1在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：对所求出的回归直线方程作出解释；收集数据(xi，yi)，i1,2，n；求线性回归方程；求相关系数；根据所搜集的数据绘制散点图如果根据可行性要求能够作出变量x，y具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确的是()ABC D解析：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据(xi，yi)，i1,2，n；根据所搜集的数据绘制散点图观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是， 故选D.答案：D2已知变量x和y满足关系y0.1x1，变量y与z正相关下列结论中正确的是()Ax与y正相关，x与z负相关Bx与y正相关，x与z正相关Cx与y负相关，x与z负相关Dx与y负相关，x与z正相关解析：因为y0.1x1的斜率小于0，故x与y负相关因为y与z正相关，故x与z负相关答案：C3相关变量x，y的样本数据如下表：x12345y22356经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y1.1xa，则a()A0.1B0.2C0.3 D0.4解析：回归直线经过样本中心点(，)，且由题意得(，)(3,3.6)，3.61.13a，a0.3.答案：C4在关于两个变量的回归分析中，作散点图的目的是_答案：观察两个变量之间是否存在线性相关关系5某服装厂的产品产量x(万件)与单位成本y(元/件)之间的回归直线方程是y52.1519.5x，当产量每增加一万件时，单位成本下降_元解析：由回归系数的意义得下降19.5元答案：19.56在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为：12345价格x1.41.61.822.2需求量y1210753已知iyi62，16.6.(1)画出散点图；(2)求出y对x的回归方程；(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)解：(1)散点图如下图所示：(2)因为91.8，377.4，iyi62，16.6，sxy 12.413.320.92.所以b11.5，ab7.411.51.828.1，故y对x的回归方程为y28.111.5x.(3)y28.111.51.96.25(t)一、选择题1下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过()x0123y1357A.点(2,2)B点(1.5,2)C点(1,2) D点(1.5,4)解析：1.5，4，线性回归方程必过点(1.5,4)答案：D2已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数3，3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为()Ay0.4x2.3 By2x2.4Cy2x9.5 Dy0.3x4.4解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)代入A、B得A正确答案：A3某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x()之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：气温()1813101销售量(个)24343864由表中数据，得线性回归方程y2xa.当气温为4 时，预测销售量约为()A68 B66C72 D70解析：(1813101)10，(24343864)40，40210a，a60，当x4时，y2(4)6068.答案：A4为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ybxa，其中b0.76，ab.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A11.4万元 B11.8万元C12.0万元 D12.2万元解析：由题意知，10，8，a80.76100.4，当x15时，y0.76150.411.8(万元)答案：B二、填空题5调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y0.254x0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元解析：以x1代x，得y0.254(x1)0.321，与y0.254x0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元答案：0.2546下表是某厂14月份用水量(单位：百吨)的一组数据，月份x1234用水量y4.5432.5由某散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y0.7xa，则a_.解析：2.5，3.5，b0.7，a3.50.72.55.25.答案：5.257已知回归直线的斜率的估计值为1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是_解析：由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y51.23(x4)，即y1.23x0.08.答案：y1.23x0.088在研究硝酸钠的可溶性程度时，观察它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果 如下：温度(x)010205070溶解度(y)66.776.085.0112.3128.0由此，得到回归直线的斜率是_解析：根据sxy ，及b，得b0.880 9.答案：0.880 9三、解答题9在关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系研究中，研究人员获得了如下一组数据：年龄x2226384145485053545657脂肪含量y9.417.821.224.926.527.128.229.430.231.432.6(1)画出散点图；(2)求y与x之间的回归方程；(3)预测39岁的人脂肪含量(保留四位有效数字)解：(1)画出散点图(2)由散点图可以看出y与x之间有较强的线性相关关系，可算得i44.545 5，i25.336 4，iyi13 205，23 224，b0.565 7，ab 0.137 0.y与x之间的线性回归方程为y0.565 7x0.137 0.(3)当x39时，y0.565 7390.137 022.20，39岁的人的脂肪含量约为22.20%.10随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份20132014201520162017时间代号t12345储蓄存款y(千亿元)567810(