拓扑空间中连续映射的证明.doc

拓扑空间中连续映射相关命题证明摘要：定义在欧式空间的连续函数，将其连续的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射，从度量空间及其连续映射导入了一般拓扑学中的拓扑空间、连续映射的概念，本文通过介绍了拓扑空间中连续映射的定义, 总结连续映射的相关命题，并给出详细证明过程。关键字：连续函数，拓扑空间，点连续 1连续性的简要说明由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。设是一个函数，则在处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列收敛于，则序列收敛于；（2）语言对于，总可以找到，使当时，有 （3）邻域语言若是包含的邻域（开集），则存在包含的邻域，使得。详解：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述；对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）。1 2拓扑空间2.11拓扑空间的定义设是一非空集，的一个子集族称为的一个拓扑，若它满足（1）；（2）中任意多个元素（即的子集）的并仍属于；(3) 中有限多个元素的交仍属于。集合和它的一个拓扑一起称为一个拓扑空间，记。中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。2.12常见拓扑1）离散拓扑 非空集合的所有子集构成的集族（包括）。2） 平庸（平凡）拓扑 是非空集合，。2.21拓扑空间中开集，是开集是开集。证明：设是上的开集。若，则必有且。于是，存在的球形邻域及.取，则是的球形邻域，且有，于是，故是开集。2.22若和都是上的拓扑，则是上的拓扑。2 证明：若，且.因此，是上的拓扑。 3度量空间3.11度量空间相关概念 设X为集合, 为一映射,如果对于任何x，y，zX，有:. 对于任意两点x，yX，实数(x，y)称为从点x到点y的距离3 3.21度量空间的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集。证明：如右图所示，设 ，则有记 则知，于是 证毕。3.22 设(度量空间)的子集族 是若干个球形邻域的并集则是上的一个拓扑。 证明：由于球形邻域是开集，于是可以表示为无穷个球形邻域的并，表示为零个球形邻域的并；又由的定义知，任意多个邻域的并必属于；设，记 则 （由分配率） 由引理，一定满足的条件，即属于，故是若干个球形邻域的并，即.3.23度量空间（X，）的球形邻域，如果yX属于xX的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域设yB（x，）令-（x，y）显然0如果zB（y，），则（z，x）（z，y）+（y，x）+（y，x）=所以zB（x，）这证明B（y，）B（x，）3.24度量空间X中任意两个开集的交是一个开集；证明：设U和V是X中的两个开集如果xUV，则存在x的一个球形邻域B（x，）包含于U，也存在x的一个球形邻域B（x，）包含于V根据定理2.1.1（2），x有一个球形邻域B（x，）同时包含于B（x，）和B（x，），因此B（x，）B（x，）B（x，）UV。由于UV中的每一点都有一个球形邻域包含于UV，因此UV是一个开集 4拓扑空间中连续映射的证明4.1度量空间（X，）的球形邻域，对于点xX的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者.4 证明:如果B（x，）和B（x，）是xX的两个球形邻域，任意选取实数0，使得min ，则易见有B（x，）B（x，）B（x，）即B（x，）满足要求4.2设（X,T)，（Y,),(Z,)都是拓扑空间，则（1） 恒同映射:（X,T)（X,T)是一个连续映射。（2） 如果:则也是连续映射. 证明(1)如果U,我们有，因此。(2) 设都是连续映射,如果,则,因此,但,因此若U,必有因此连续.4.3设X和Y是两个度量空间，f：XY以及Xf在点处是连续的，则f()的每一个邻域的原象是的一个邻域；证明：令U为f（）的一个邻域f（）有一个球形邻域B（f（），）包含于U由于f在点处是连续的，所以有一个球形邻域B（，）使得f（B（，）B（f（），）然而，（B（f（），）（U），所以B（，）（U），这证明（U）是的一个邻域任意给定f（）的一个邻域B（f(),），则（B（f()，）是的一个邻域有一个球形邻域B（，）包含于（B（f（），）因此f（B（，）B（f（），）这证明f在点处连续4.4设X和Y是两个度量空间，f：XY以及X，f是连续的，则Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集证明：对于任意xX，设U是f（x）的一个邻域，即存在包含f（x）的一个开集V U从而x（V）（U）根据条件（2）*，（V）是一个开集，所以（U）是x的一个邻域，对于x而言f在点x处连续由于点x是任意选取的，所以f是一个连续映射参考文献1 熊金城.点集拓扑讲义M.北京