探讨“哥德巴赫猜想”的最简捷证明.doc

探讨“哥德巴赫猜想”的最简捷证明王若仲1谭谟玉2彭 晓3徐武方4贵州省务川自治县实验学校 王若仲（王洪）贵州省务川自治县农业局 谭谟玉贵州省务川中学 彭 晓贵州省务川自治县实验学校 徐武方摘要：我们几人利用闲遐之余，探究数学问题。我们在一次偶然讨论中，发现“哥德巴赫猜想”的最简捷证明。关键词：哥德巴赫猜想；素数；缺项集合我们知道，只能被1和本身整除的正整数，称为素数。定义1：对于均满足某一特性或某一表达式的全体非负整数值组成的集合A，关于集合A的子集A1，A2，A3， ，Ak；任一AiA（i=1，2，3， ，k），则称集合Ai为该条件下的缺项集合。缺具体的某一项称为缺项。定理1：对于非负整数集合A=a1，a2 ，a3， ，ak，任一aiN（i=1，2，3， ，k，）；a1，a2 ，a3， ，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=（a1h+d+r -a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r -a13）， ，（a1h+d+r-a1h），且集合B=B1B2B3Br，BiBj（ij），任一集合Bj中的元素为等差数列，若存在一个数v，v=ed，eN，使得a11，a12 ，a13，a1h（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13）， ，（a1h+ed+r-a1h）=a1，a2 ，a3， ，a1h， ，（a1h+ed），那么必存在一个数u，u= md，mN，使得 （a11- md），（a12- md） ，（a13- md）， ，（a1h- md）（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r-a13）， ，（a1h+d+r -a1h）=（r-md）， ，a1，a2 ，a3， ，a1h，（a1h+d）。证明：（）、令集合B=a1，a2 ，a3， ，ak，则集合C=（ak +d+r -a1），（ak+d+r-a2），（ak+d+r-a3），（ak+d+r-ah），故集合B（ak+d）包含集合C，那么a1，a2 ，a3， ，ak（ak +d +r-a1），（ak+d+r -a2），（ak+d+r-a3），（ak+d+r-ah）=a1，a2 ，a3， ，ak，（ah+d）；又ak- d=ak-1，ak-1- d= ak-2 ，ak-1- d= ak-3， ， a2- d= a1，则有一个数u，u= d，使得（a1- d），（a2- d） ，（a3- d）， ，（ah- d）（ah+d+r-a1），（ah+d+r-a2），（ah+d+r-a3）， ，（ah+d+r -ah）=（r-d），a1，a2 ，a3， ，ah，（ah+d）。（）、令集合B=a1，a3，a5， ，a（2k-1），则集合C=（a（2k-1）+d+r -a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5），（a（2k-1）+d+r- a（2k-1），因为（a（2k-1）+d+r- a（2k-1）= a2，（a（2k-1）+d+r- a（2k-3）= a4，（a（2k-1）+d+r- a（2k-5）= a6， ，（a（2k-1）+d+r- a3）= a（2k-2），（a（2k-1）+d+r- a1）= a（2k-1）+d。故a1，a3，a5， ，a（2k-1）（a（2k-1）+d+r -a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5），（a（2k-1）+d+r- a（2k-1）=a1，a2 ，a3， ，a（2k-2），（a（2k-1）+d）。则有一个数u，u=2d，使得（a1-2 d），（a3-2 d） ，（a5- 2d）， ，（a（2k-1）-2 d）（a（2k-1）+d+r-a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5）， ，（a（2k-1）+d+r -a（2k-1）=（r-2d）， ，a1，a2 ，a3， ，a（2k-2），a（2k-1），（a（2k-1）+d）。（）、令集合B=a1，a2 ，a5，a,6，a9，a,10， ，a（4k+1），a（4k+2），则集合C=（a（4k+2）+2d+r -a1），（a（4k+2）+2d+r-a2），（a（4k+2）+2d+r-a5），（a（4k+2）+2d+r-a6），（a（4k+2）+2d+r-a9），（a（4k+2）+2d+r-a10），（a（4k+2）+2d+r- a（4k+1），（a（4k+2）+2d+r- a（4k+2），因为（a（4k+2）+2d+r- a（4k+2）= a3，（a（4k+2）+2d+r- a（4k+1）= a4，（a（4k+2）+2d+r- a（4k-2）= a7，（a（4k+2）+2d+r- a（4k-3）= a8， ，（a（4k+2）+2d+r- a2）= a（4k+2）+d，（a（4k+2）+2d+r- a1）= a（4k+2）+2d。故a1，a2 ，a5，a,6，a9，a,10， ，a（4k+1），a（4k+2）（a（4k+2）+2d+r -a1），（a（4k+2）+2d+r-a2），（a（4k+2）+2d+r-a5），（a（4k+2）+2d+r-a6），（a（4k+2）+2d+r-a9），（a（4k+2）+2d+r-a10），（a（4k+2）+2d+r- a（4k+1），（a（4k+2）+2d+r- a（4k+2）=a1，a2 ，a3，a4，a5，a6， ，a（4k+1），a（4k+2） ，（a（4k+2）+d）， （a（4k+2）+2d） 。则有一个数u，u=2d，使得（a1-2 d），（a2-2 d） ，（a5- 2d），（a6- 2d），（a9- 2d），（a10- 2d）， ，（a（4k+1）-2 d），（a（4k+2）-2 d）（a（2k-1）+d+r-a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5）， ，（a（2k-1）+d+r -a（2k-1）=（r-2d）， ，a1，a2 ，a3，a4，a5，a6， ，a（4k+1），a（4k+2） ，（a（4k+2）+d）。因为对于非负整数集合A=a1，a2 ，a3， ，ak，任一aiN（i=1，2，3， ，k，）；a1，a2 ，a3， ，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），有（ak+d+r -a1），（ak+d+r-a2），（ak+d+r -a3）， ，（ak+d+r-ak）=（a3-d），（a4-d） ，（a5- d），（a6- d），（a7- d），（a8-d）， ，（a（k-1）-d），（ak-d）， ，（ak+d），那么（ak+ed+r -a1），（ak+ed+r-a2），（ak+ed+r -a3）， ，（ak+ed+r-ak）=（at-ed），（a（t+1）-ed） ，（a（t+2）- ed），（a（t+3）- ed），（a（t+4）- ed），（a（t+5）-ed）， ，（a（k-1）-ed），（ak-ed）， ，（ak+ed），t1，tk，tN。一般地，对于任一非负整数集合A=a1，a2 ，a3， ，ak，任一aiN（i=1，2，3， ，k，）；a1，a2 ，a3， ，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，集合B中的元素为等差数列，等差d，关于集合（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h +ed+r-a13）， ，（a1h +ed+r- a1h）中的元素，则有下列三种情形之一：（1）、（a1h+ed+r- a1h）= a1j，（a1h +ed+r-a1h -1）= a1（j+1），（a1h+ed+r-a1h -2）=a1（j+2）， ，（a1h+ed+r-a11）=a1h+ed-yd。（2）、（a1h+ed+r-a1h）a1j，（a1h+ed+r-a1h -1）a1（j+1），（a1h+ed+r-a1h -2）a1（j+2）， ，（a1h+ed+r-a11）a1h+ed-yd。（3）、（a1h+ed+r-a1h）a1j，（a1h+ed+r-a1h -1）a1（j+1），（a1h+ed+r-a1h -2）a1（j+2）， ，（a1h+ed+r-a11）a1h+ed-yd。因为集合B中的元素为等差数列，说明集合（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13）， ，（a1h+ed+r-a1h）中的元素也是等差数列。则集合（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13）， ，（a1h+ed+r-a1h）=（a1t-md），（a1（t+1）- md） ，（a1（t+2）- md），（a1（t+3）- md），（a1（t+4）- md），（a1（t+5）- md）， ，（a1（h-1）- md），（a1h- md）， ，（a1h+ed-yd），t1，tk，tN，mN，eN。所以对于与上面（），（），（）同类型的情形，同理可得相同的效果。综上所述，定理1成立。定理2：对于非负整数集合A=a1，a2 ，a3， ，ak，任一aiN（i=1，2，3， ，k，）；a1，a2 ，a3， ，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r -a12），（a1h+d+r -a13）， ，（a1h+d+r -a1h），且集合B=B1B2B3Br，BiBj（ij），任一集合Bj中的元素为等差数列，若存在一个数u ，u= md，mN，使得（a11- md），（a12- md） ，（a13- md）， ，（a1h- md）（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r-a13）， ，（a1h+d+r -a1h）=（r-md）， ，a1，a2 ，a3， ，a1h，（a1h+d）。那么必存在一个数v，v=ed，eN，使得a11，a12 ，a13，a1h（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13）， ，（a1h+ed+r-a1h）=a1，a2 ，a3， ，a1h， ，（a1h+ed）。证明：（）、令集合B=a1，a2 ，a3， ，ak，则集合C=（ak +d+r -a1），（ak+d+r-a2），（ak+d+r-a3），（ak+d+r-ah），因为有一个数u，u= d，使得（a1- d），（a2- d） ，（a3- d）， ，（ah- d）（ah+d+r-a1），（ah+d+r-a2），（ah+d+r-a3）， ，（ah+d+r -ah）=（r-d），a1，a2 ，a3， ，ah，（ah+d）。又因为ak- d=ak-1，ak-1- d= ak-2 ，ak-1- d= ak-3， ， a2- d= a1，故有一个数u，u= d，使得（a1- d），（a2- d） ，（a3- d）， ，（ah- d）（ah+d+r-a1），（ah+d+r-a2），（ah+d+r-a3）， ，（ah+d+r -ah）=（r-d），a1，a2 ，a3， ，ah，（ah+d）。（）、令集合B=a1，a3，a5， ，a（2k-1），则集合C=（a（2k-1）+d+r -a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5），（a（2k-1）+d+r- a（2k-1），因为有一个数u，u=2d，使得（a1-2 d），（a3-2 d） ，（a5- 2d）， ，（a（2k-1）-2 d）（a（2k-1）+d+r-a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5）， ，（a（2k-1）+d+r -a（2k-1）=（r-2d）， ，a1，a2 ，a3， ，a（2k-2），a（2k-1），（a（2k-1）+d）。又因为（a（2k-1）+d+r- a（2k-1）= a2，（a（2k-1）+d+r- a（2k-3）= a4，（a（2k-1）+d+r- a（2k-5）= a6， ，（a（2k-1）+d+r- a3）= a（2k-2），（a（2k-1）+d+r- a1）= a（2k-1）+d。故a1，a3，a5， ，a（2k-1）（a（2k-1）+d+r -a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5），（a（2k-1）+d+r- a（2k-1）=a1，a2 ，a3， ，a（2k-2），（a（2k-1）+d）。（）、令集合B=a1，a2 ，a5，a,6，a9，a,10， ，a（4k+1），a（4k+2），则集合C=（a（4k+2）+2d+r -a1），（a（4k+2）+2d+r-a2），（a（4k+2）+2d+r-a5），（a（4k+2）+2d+r-a6），（a（4k+2）+2d+r-a9），（a（4k+2）+2d+r-a10），（a（4k+2）+2d+r- a（4k+1），（a（4k+2）+2d+r- a（4k+2），因为有一个数u，u=2d，使得（a1-2 d），（a2-2 d） ，（a5- 2d），（a6- 2d），（a9- 2d），（a10- 2d）， ，（a（4k+1）-2 d），（a（4k+2）-2 d）（a（2k-1）+d+r-a1），（a（2k-1）+d+r-a3），（a（2k-1）+d+r-a5）， ，（a（2k-1）+d+r -a（2k-1）=（r-2d）， ，a1，a2 ，a3，a4，a5，a6， ，a（4k+1），a（4k+2） ，（a（4k+2）+d）。又因为（a（4k+2）+2d+r- a（4k+2）= a3，（a（4k+2）+2d+r- a（4k+1）= a4，（a（4k+2）+2d+r- a（4k-2）= a7，（a（4k+2）+2d+r- a（4k-3）= a8， ，（a（4k+2）+2d+r- a2）= a（4k+2）+d，（a（4k+2）+2d+r- a1）= a（4k+2）+2d。故a1，a2 ，a5，a,6，a9，a,10， ，a（4k+1），a（4k+2）（a（4k+2）+2d+r -a1），（a（4k+2）+2d+r-a2），（a（4k+2）+2d+r-a5），（a（4k+2）+2d+r-a6），（a（4k+2）+2d+r-a9），（a（4k+2）+2d+r-a10），（a（4k+2）+2d+r- a（4k+1），（a（4k+2）+2d+r- a（4k+2）=a1，a2 ，a3，a4，a5，a6， ，a（4k+1），a（4k+2） ，（a（4k+2）+d）， （a（4k+2）+2d） 。因为对于非负整数集合A=a1，a2 ，a3， ，ak，任一aiN（i=1，2，3， ，k，）；a1，a2 ，a3， ，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），有（ak+d+r -a1），（ak+d+r-a2），（ak+d+r -a3）， ，（ak+d+r-ak）=（a3-d），（a4-d） ，（a5- d），（a6- d），（a7- d），（a8-d）， ，（a（k-1）-d），（ak-d）， ，（ak+d），那么（ak+ed+r -a1），（ak+ed+r-a2），（ak+ed+r -a3）， ，（ak+ed+r-ak）=（at-ed），（a（t+1）-ed） ，（a（t+2）- ed），（a（t+3）- ed），（a（t+4）- ed），（a（t+5）-ed）， ，（a（k-1）-ed），（ak-ed）， ，（ak+ed），t1，tk，tN。一般地，对于任一非负整数集合A=a1，a2 ，a3， ，ak，任一aiN（i=1，2，3， ，k，）；a1，a2 ，a3， ，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，集合B中的元素为等差数列，等差d，关于集合（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h +ed+r-a13）， ，（a1h +ed+r- a1h）中的元素，则有下列三种情形之一：（1）、（a1h+ed+r- a1h）= a1j，（a1h +ed+r-a1h -1）= a1（j+1），（a1h+ed+r-a1h -2）=a1（j+2）， ，（a1h+ed+r-a11）=a1h+ed-yd。（2）、（a1h+ed+r-a1h）a1j，（a1h+ed+r-a1h -1）a1（j+1），（a1h+ed+r-a1h -2）a1（j+2）， ，（a1h+ed+r-a11）a1h+ed-yd。（3）、（a1h+ed+r-a1h）a1j，（a1h+ed+r-a1h -1）a1（j+1），（a1h+ed+r-a1h -2）a1（j+2）， ，（a1h+ed+r-a11）a1h+ed-yd。因为集合B中的元素为等差数列，说明集合（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13）， ，（a1h+ed+r-a1h）中的元素也是等差数列。则集合（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13）， ，（a1h+ed+r-a1h）=（a1t-md），（a1（t+1）- md） ，（a1（t+2）- md），（a1（t+3）- md），（a1（t+4）- md），（a1（t+5）- md）， ，（a1（h-1）- md），（a1h- md）， ，（a1h+ed-yd），t1，tk，tN，mN，eN。所以对于与上面（），（），（）同类型的情形，同理可得相同的效果。综上所述，定理2成立。定理3：对于非负整数集合A=a1，a2 ，a3， ，ak，任一aiN（i=1，2，3， ，k，）；a1，a2 ，a3， ，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=（a1h+d+r -a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r -a13）， ，（a1h+d+r-a1h），且集合B=B1B2B3Br，BiBj（ij），任一集合Bj中的元素为等差数列，若不存在一个数v，v=ed，eN，使得a11，a12 ，a13，a1h（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13）， ，（a1h+ed+r-a1h）=a1，a2 ，a3， ，a1h， ，（a1h+ed），那么也不可能存在一个数u，u= md，mN，使得 （a11- md），（a12- md） ，（a13- md）， ，（a1h- md）（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r-a13）， ，（a1h+d+r -a1h）=（r- md）， ，a1，a2 ，a3， ，a1h，（a1h+d）。证明：由定理2知，假若存在一个数u ，u= md，mN，关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r -a12），（a1h+d+r -a13）， ，（a1h+d+r -a1h），且集合B=B1B2B3Br，BiBj（ij），任一集合Bj中的元素为等差数列，使得（a11- md），（a12- md） ，（a13- md）， ，（a1h- md）（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r-a13）， ，（a1h+d+r -a1h）=（r-md）， ，a1，a2 ，a3， ，a1h，（a1h+d）。那么必存在一个数v，v=ed，eN，使得a11，a12 ，a13，a1h（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13）， ，（a1h+ed+r-a1h）=a1，a2 ，a3， ，a1h， ，（a1h+ed）。这与题设产生矛盾，故定理3成立。定理4：对于非负整数集合A=a1，a2 ，a3， ，ak，任一aiN（i=1，2，3， ，k，）；a1，a2 ，a3， ，ak，为等差数列，等差为d，a1=r（rd），关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r -a12），（a1h+d+r -a13）， ，（a1h+d+r -a1h），且集合B=B1B2B3Br，BiBj（ij），任一集合Bj中的元素为等差数列，若不存在一个数u ，u= md，mN，使得（a11- md），（a12- md） ，（a13- md）， ，（a1h- md）（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r-a13）， ，（a1h+d +r-a1h）=（r- md）， ，a1，a2 ，a3， ，a1h，（a1h+d），那么也不可能存在一个数v，v=ed，eN，使得a11，a12 ，a13， ，a1h（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13）， ，（a1h+ed +r-a1h）=a1，a2 ，a3， ，a1h， ，（a1h+ed）。证明：由定理1知，假定存在一个数v，v=ed，eN，关于集合A的子集B和C，B=a11，a12 ，a13， ，a1h，C=（a1h+d+r -a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r -a13）， ，（a1h+d+r-a1h），且集合B=B1B2B3Br，BiBj（ij），任一集合Bj中的元素为等差数列，使得a11，a12 ，a13，a1h（a1h+ed+r-a11），（a1h+ed+r-a12），（a1h+ed+r-a13）， ，（a1h+ed+r-a1h）=a1，a2 ，a3， ，a1h， ，（a1h+ed），那么必存在一个数u，u= md，mN，使得 （a11- md），（a12- md） ，（a13- md）， ，（a1h- md）（a1h+d+r-a11），（a1h+d+r-a12），（a1h+d+r-a13）， ，（a1h+d+r -a1h）=（r-md）， ，a1，a2 ，a3， ，a1h，（a1h+d）。这与题设产生矛盾，故定理4成立。哥德巴赫定理：任何一个不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和。证明：（）、对于偶数16，小于偶数16的全体奇合数有9，15。那么9，15（16-9），（16-15）1，15=1，7，9，15，且1，7，9，151,3，5,7,9,11,13,15，（9-2），（15-2）（16-9），（16-15）1，15=1，7，13，15，且1，7，13，151,3，5,7,9,11,13,15。对于偶数18，小于偶数18的全体奇合数有9，15。那么9，15（18-9），（18-15）1，17=1，3，9，15，17，且1，3，9，15，171,3，5,7,9,11,13,15，17。（9-2），（15-2）（18-9），（18-15）1，17=1，3，7，9，13，17，且1，3，7，9，13，171,3，5,7,9,11,13,15，17。对于偶数20，小于偶数20的全体奇合数有9，15。那么9，15（20-9），（20-15）1，19=1，5，9，11，15，19，且1，5，9，11，15，191,3，5,7,9,11,13,15，17，19。（9-2），（15-2）（20-9），（20-15）1，19=1，5，7，11，13，19，且1，5，7，11，13，191,3，5,7,9,11,13,15，17，19。对于偶数22，小于偶数22的全体奇合数有9，15，21。那么9，15，21（22-9），（22-15），（22-21）1，21=1，7，9，13，15，21，且1，7，9，13，15，211,3，5,7,9,11,13,15，17，19，21。（9-2），（15-2），（21-2）（22-9），（22-15），（22-21）1，21=1，7，13，21，且1，7，13，211,3，5,7,9,11,13,15，17，19，21。（）、假设偶数6，8，10，（2m）（m2）均可表为两个奇素数之和。现在设奇合数a1、a2 、a3、 、as均为不大于偶数（2m-2）的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、 、s）。设奇合数a1、a2 、a3、 、at均为不大于偶数（2m）的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、 、t）。则有1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1、a2 、a3、 、at1，3，5，7，9，11，（2m-5），（2m-3），（2m-1），根据定义1，说明集合1，（2m-1），（2m-a1），（2m-a2），（2m-a3），（2m-at）a1、a2 、a3、 、at有缺项。（）、现在设奇合数a1、a2 、a3、 、ah均为不大于偶数（2m+2）（m2）的全体奇合数，（aiaj ，ij，i、j=1、2、3、 、h）。假设偶数（2m+2），不存在有两个奇素数pi和pj，使得（2m+2）=pi+pj。则说明集合（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-ah）a1、a2 、a3、 、ah中包含了所有的奇合数和奇素数，那么必然有集合1，（2m+2-1），（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m+2-a3），（2m+2-ah）a1、a2 、a3、 、ah=1，3，5，7，9，11，（2m+2-5），（2m+2-3），（2m+2-1），集合1，（2m+2-1），（2m+2-a1），（2m+2-a2），（2m