选修45第一章第5节不等式的证明文.doc

年级高二学科数学版本通用版课程标题选修4-5第一章第5节不等式的证明（文）编稿老师孙洪成一校林卉二校黄楠审核王百玲一、学习目标：1. 会用比较法证明一些简单的不等式，理解作差比较的方法，了解作商比较的方法。2. 会用综合法与分析法证明某些不等式，理解它们的区别与联系。3. 会用反证法与放缩法证明某些不等式，理解反证法的理论依据，明确其证明格式，了解放缩的常见类型。4. 知道巧用构造法证明不等式，体会其转化与精巧之美感。二、重点、难点：重点：五种基本方法比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法的思维特点与适用题型。难点：如何根据不等式的特点，灵活选取恰当的证明方法；证明过程中对式子的变形与处理。三、考点分析： 单纯地证明不等式的题目在高考中并不多见，在大题中有时会与数列、函数综合，有的省份也会将其作为不等式选讲的选做题，属中高档题目；出现在选择、填空题中时，主要是结合不等式的性质、均值不等式、绝对值不等式等进行大小的判断，难度中等。虽然不等式的证明在高考中所占分值不多，也不稳定，但它所体现的数学思维品质在解决其他数学问题时却起到了非常重要的作用。一、知识网络二、证明不等式常用的基本方法 1. 比较法（1）知识基础：完全平方式（配方）、分解因式、分数指数幂的运算法则、简单指数函数与幂函数的单调性。（2）理论依据：作差： 作商： 说明：作差之后往往要进行配方、通分、分解因式等变形；作商之后通常会与分数指数幂的运算法则、简单指数函数与幂函数的单调性相联系；作差适用范围更广，也更重要。 2. 综合与分析法综合法的思维过程的全貌可概括为下面的形式：“已知可知可知结论”。其思维特点是由因导果。分析法的思维过程的全貌可概括为下面的形式：“结论需知需知已知”。其思维特点是执果索因。说明：综合法证明首先要找到“因”，常为条件和一些基本不等式，比如均值不等式，有时“因”不易想到，就要从要证的结论入手，即“执果索因”，这时就成为分析法了，所以综合法与分析法往往组合使用，用分析法索因，找思路，用综合法书写证明过程。 3. 反证与放缩法（1）反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。（2）放缩法：要证可将缩小为c（或将b放大为c），再证（或c2入手，将其两边同时三次方，可出现p3q3，再寻找矛盾。解答过程：假设pq2，则（pq）8，即pq3pq（pq）8，pq= 2，pq（pq）2。故pq（pq）2= pq=（pq）（ppqq），又p0，q0pq0，pqppqq，即（pq）0，矛盾。故假设pq2不成立，pq2。解题后的思考：本题由反设推出的结论“pq（pq）2”和条件“p3q32”的矛盾实际上是p3q3与的大小关系的问题。若想不到后面的分解因式，也可通过作差法来比较这两个式子的大小。反设的结论实际可以看作一个进行推理的已知条件，这正是反证法的优势多了一个进行推理的起点。例6 ，求证：。思路分析：不等式的中间是和式的形式，要完成证明需对其化简，但直接求和是不可能的，可考虑对其通项进行放缩，联想这个可实现裂项叠加的类型。解答过程： 解题后的思考：放缩法主要体现在对分子分母的放缩、利用均值不等式、绝对值三角不等式等常用的不等式放缩上，关键是对放缩的“度”的把握，对式子的变形能力要求较高，灵活性强，不易掌握，这需要同学们在平时的学习中不断积累经验。知识点三小结：反证与放缩法的思维灵活性强，不易掌握，需要在平时的学习中不断积累经验。反证法的理论依据是原命题与其逆否命题的等价性，体现的是“补集”的思想；放缩法的理论依据是不等式的传递性，体现的是“桥梁思想”。这两种方法对文科生的要求较低，同学们可适当了解。知识点四：构造与换元例7 设a、bR，且，求证：（a2）（b1）8。思路分析：若将（a2）（b1）展开得，可利用条件转化为证明而由证明单纯用不等式的知识就困难了，此时可考虑消元，转化为函数问题，也可考虑结合解析几何知识，进行非线性规划。这样不如直接考虑条件和要证结论的几何意义，a、bR，且表示以原点为圆心，半径为1的圆在第一象限的部分，（a2）（b1）表示其上的点到点（2，1）的距离的平方。解答过程：如图：a、bR，且表示以原点为圆心，半径为1的圆在第一象限的部分，（a2）（b1）表示其上的点到点P（2，1）的距离的平方。显然，PB的长度最小，PB=2，从而得证。解题后的思考：本题是构造了解析几何的知识背景，利用数形结合思想，将条件与结论“形化”，快捷地完成了证明。本题还有很多种解法，如可利用三角代换，构造三角函数的知识背景，也可利用消元法，构造函数背景。有兴趣的同学不妨一试。知识点四小结：构造法证明不等式是通过将不等式问题构造成其他数学知识背景，将其转化为函数、几何、向量、三角等问题来解决，灵活性大，思想性强，较难掌握。构造法不是重点，特别对文科生而言，了解一下即可，有兴趣的同学可以多作尝试，这对发展数学思想方法是很有帮助的。（福建卷）设不等式的解集为M。（I）求集合M；（II）若a，bM，试比较ab1与ab的大小。命题意图：考查绝对值不等式的解法以及作差比较法，属中低档题。解答过程：（I）由所以（II）由（I）和，所以故点拨：作差之后如何整理差式是关键，通常要分解因式，结合条件，可凑出（a1）和（b1）的因子。 1. 比较法是证明不等式的基本方法。作差比较是重点，作差后对差式的整理是难点，同学们要在平时的学习中积累配方、分解因式的经验；作商比较作为辅助，作商后是与1作比较，需要熟悉指数幂的运算法则和指数函数以及简单幂函数的性质。 2. 综合法与分析法是证明不等式的常用方法，同时也是分析问题、解决问题的思维基础，因此是重中之重。综合法的“因”往往是从一些基本不等式入手，结合不等式的性质展开论证；分析法往往适用于处理一些含有根式、分式的不等式，从结论入手将要证的不等式转化为整式、有理式。要注意两种方法的组合使用及书写格式。 3. 反证法与放缩法通常都是在直接证明不易入手的情况下实施的，实际上体现的是间接证明的思路。反证法体现的是“补集思想”，要注意反面假设的作出和书写的格式；放缩法体现的是“桥梁思想”，寻找中间量来传递，要注意放缩时常用的知识背景和“度”的把握。 4. 构造法是将不等式问题转化为其他数学知识来解决的方法，不是重点，了解一下即可，若不是兴趣所至，不必花太多时间。一、预习新知 下一讲我们进行期中复习。二、预习点拨探究与反思探究任务一：统计部分【反思】（1）如何进行独立性检验？ （2）如何进行回归分析？探究任务二：推理与证明部分【反思】（1）合情推理有哪些推理形式？演绎推理的基本格式是什么？（2）直接证明与间接证明的常用方法有哪些，它们的思维特点是什么？探究任务三：复数部分【反思】（1）复数的相关概念有哪些？（2）如何进行复数之间的运算？探究任务四：框图部分【反思】流程图与结构图的区别是什么？它们和之前所学的算法框图的区别和联系是什么？含循环结构的算法框图如何阅读？（答题时间：60分钟）一、选择题1. 与的大小关系是（ ）A. B. C. D. bc1，p2（），3（），则p与中的较小者是 。8. 若a、bR.设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是 。|ab|ac|bc|; a2a; |ab|2; 。三、解答题9. 若R且ab=1，求证：2。10. 设a,b,c为正实数。求证：abc2。11. 若是自然数，求证12. 已知、，求证：、均为正数。13. 已知a，b，c为正实数，abc=1。求证：a2b2c2。1. D 2. D3. C 解析：a0,b1,则0, b1。则b21。1。又a0,0a。a。故选C。4. A 解析：由ab1ab（）21ab，将ab看作一整体即可。5. D 解析：2（SP）=2a22b22c22ab2bc2ac=（ab）2（bc）2（ac）20,SP。2P=2ab2bc2ca=（abbc）（bcca）（caab）=b（ac）c（ab）a（cb）b2c2a2=S，2PS。6. 好7.p 解析：当a与b很接近时，接近于零，而可以远大于零，因此可推断较小者为p。8. 解析：为绝对值三角不等式的推论，恒成立；采用作差法易证恒成立；ab为负数时可能不成立；分析法可证恒成立。9. 证明：2ab1241ab1ab。ab（）2=成立,原不等式成立。10. 证明：因为是正实数，由平均不等式可得3，即，所以.而2=2,所以2。11. 证明： = =12. 证明：反证法：假设、不均为正数 又，、两负一正不妨设， 又 同乘以即，与已知矛盾，假设不成立 、均为正数13. 证法一：a2b2c2=（3a23b23c21）=3a23b23c2（abc）2=3a23b2