不定积分的概念与性质.ppt

,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,4.1 不定积分的概念与性质,定义1： 设 F (x)与 f (x) 是定义在某区间上的函数， 如果在该区间上有 或 ，则称 F (x)是 f (x) 在这个区间上的一个原函数。,4.1.1 原函数,问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 它如何表示 ?,定理1.,存在原函数 .,初等函数在定义区间上连续,初等函数在定义区间上有原函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理.,原函数都在函数族,( C 为任意常数 ) 内 .,证: 1),又知,故,即,属于函数族,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,定义 2.,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,若,则,( C 为任意常数 ),C 称为积分常数 不可丢 !,例如,记作,4.1.2不定积分的概念,4.1.3 不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的积分曲线 .,例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.,解:,所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,故有,因此所求曲线为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 质点在距地面,处以初速,力, 求它的运动规律.,解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,质点抛出时刻为,此时质点位置为,初速为,设时刻 t 质点所在位置为,则,(运动速度),(加速度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,垂直上抛 ,不计阻,先求,由,知,再求,于是所求运动规律为,由,知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,性质1 一个函数积分后导数或微分等于这个函数。 性质2 一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。,4.1.4 不定积分的简单性质,性质3 积分形式不变性 如果 u为 x 的任何 可微函数，则有,性质4 函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和,性质5 常数因子可从积分号中提出,k 是常数且 k 0,4.2 不定积分的 基本公式,( k 为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,例2,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,解: 原式=,例5. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,注意方法,例8. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意方法,例1,例2,例3. 求,解: 原式 =,例4. 求,解: 原式=,例5. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求,解: 原式 =,例7. 求,解: 原式 =,注意方法,例8. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意方法,内容小结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表,2. 直接积分法:,利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分 .,常用恒等变形方法,分项积分,加项减项,利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 若,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 若,是,的原函数 , 则,提示:,已知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 若,的导函数为,则,的一个原函数,是 ( ) .,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 求下列积分:,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5. 求不定积分,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6. 已知,求 A , B .,解: 等式两边对 x 求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、第二类换元法,一、第一类换元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.3 两种积分法,第四章,4.3.1. 换元积分法,复合函数的微分法大大拓展了求导数（或求积分）的范围。同样，将复合函数的微分法用于求积分即得复合函数得积分法换元积分法，按其应用方法得不同可分为两种换元法。,1 第一换元积分法,如果不定积分 用基本积分法不易求得，但被积表达式可分解为,作变量代换 ，得到,则,而 可以求出，不妨设,这一步常称为“凑积分”，第二步就是求不定积分 。,定理（第一类换元积分法）,设 ，且 在区间 I 可微，则,用第一换元积分法求不定积分 ，分为两步完成， 第一步从 f (x)中分出一个因子 ，使 与dx凑成u的微分 du，并把被积函数剩下的部分写成的u函数，即,例,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称配元法,即, 凑微分法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解:,原式 =,注: 当,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解:,想到公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,想到,解:,(直接配元),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似,例5. 求,解:, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求,解: 原式 =,例8. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求,解法1,解法2,两法结果一样,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 求,解法1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法 2,同样可证,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11,答案的另一种形式,例12. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13 . 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14. 求,解:,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15. 求,解: 原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,例16. 求,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结,常用简化技巧:,(1) 分项积分:,(2) 降低幂次:,(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法,(4) 巧妙换元或配元,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用积化和差; 分式分项;,利用倍角公式 , 如,思考与练习,1.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 求,提示:,法1,法2,法3,作业 目录 上页 下页 返回 结束,由例子看出，要想熟练运用凑积分法，记为一些常见函数的微分是很重要的，例如,等等。,例1 求,解 把被积式中ln2x看成lnx的函数，剩下的因式 恰好是lnx的微分dlnx ，令lnxu ，则 ，于是,把 u lnx代入上式右端，得到,例2 求,解 把被积式中 看成 的函数，剩下部分 乘上 可以凑成 的微分 ，令 u ，则 ，于是,把 代入上式右端，得到,例3 求,解,例4 求,解,2 第二类换元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法 .,难求，,定理2 . 设,是单调可导函数 , 且,具有原函数 ,证:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有换元公式,定理（第二换元积分法）,则,设函数 ，在区间 I 可微且存在反函 数 ，如果,例1 求,解 被积函数中含有根式 ，令 x = t 2 (t 0 )，则 dxd t 22 t d t 于是,例2 求,解 令 u = ex ，或 x = lnu ， ，于是,此题也可用“加减项法”。,得到的结果是一样的。,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,例8. 求,解: 令,则, 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求,解: 令,则, 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 求,解:,令,则, 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,被积函数含有,时,除采用,采用双曲代换,消去根式 ,所得结果一致 .,或,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三角代换外, 还可利用公式,例11. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12. 求,解: 令,得,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,小结:,1. 第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,或,令,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 常用基本积分公式的补充,(7) 倒数代换,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13. 求,例14. 求,解:,例15. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例16. 求,解: 原式,例17. 求,解: 原式,令,例16 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?,令,令,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17. 已知,求,解: 两边求导, 得,则,(代回原变量),机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1. 求下列积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,求不定积分,解：,利用凑微分法 ,原式 =,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分子分母同除以,3.,求不定积分,解:,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分部积分法,第四章,例1. 求,解: 令,则, 原式,思考: 如何求,提示: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解: 令,则,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求,解: 令,则, 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解: 令, 则, 原式,再令, 则,故 原式 =,说明: 也可设,为三角函数 , 但两次所设类型,必须一致 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解: 令, 则, 原式,再令, 则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,例5. 求,解: 令, 则,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数,例6. 求,解: 令, 则,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,例8. 求,解: 令,则, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求,解: 令,则,得递推公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 证明递推公式,证:,注:,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,分部积分题目的类型:,1) 直接分部化简积分 ;,2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;,(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ),例4 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 已知,的一个原函数是,求,解:,说明: 此题若先求出,再求积分反而复杂.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12. 求,解法1 先换元后分部,令,即,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2 用分部积分法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,分部积分公式,1. 使用原则 :,2. 使用经验 :,“反对幂指三” , 前 u 后,3. 题目类型 :,分部化简 ;,循环解出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13. 求,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?,得 0 = 1,答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .,求此积分的正确作法是用换元法 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 求,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求不定积分,解：,方法1,(先分部 , 再换元),令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.求不定积分,解：,令,则, 故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分母次数较高, 宜使用倒代换.,4.求不定积分,解：,原式 =,前式令,; 后式配元,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课,一、 求不定积分的基本方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第四章,一、 求不定积分的基本方法,1