应力状态和强度理论讲课课件

第八章 应力状态和强度理论,8.1应力状态的概念及其描述 8.2平面应力状态分析解析法 8.3平面应力状态分析图解法 8.4三向应力状态 8.5广义胡克定律 8.6三向应力状态下应变能 8.7强度理论的概念 8.8四种常见的强度理论,8-1 应力状态的概念及其描述,8.1.1应力状态的概念：,构件上不同的点有不同的应力应力为位置的函数。,构件上同一点不同的方向面上应力不尽相同 应力为方向面的函数。,一点处的应力状态是指通过一点不同方位截面上的应力的集合. 应力分析就是研究这些不同方向截面上应力随截面方向的变化规律，从而为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础。,8-1 应力状态的概念及其描述,8.1.1应力状态的概念：,8-1 应力状态的概念及其描述,8.1.2一点处应力的表示方法：,一点处的应力状态可用围绕该点截取的单元体(微正六面体)上三对互相垂直微面上的应力情况来表示. 如轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体.,特点: 根据材料的均匀连续假设微元体各微面上的应力均匀分布,相互平行的两侧面上应力大小相等、方向相反; 互相垂直的两侧面上剪应力服从剪切互等定理.,图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。,8-1 应力状态的概念及其描述,8.1.2一点处应力的表示方法：,8-1 应力状态的概念及其描述,8.1.3主应力、主平面、主单元体：,以主平面为坐标平面的单元体称为主单元体。,主平面上的正应力称主应力。,剪应力为零的平面称为主平面。,主单元体的例子,8-1 应力状态的概念及其描述,8.1.3主应力、主平面、主单元体：,可以证明，一点处必定存在主单元体，因而必定存在三个互相垂直的主应力，分别记为 1、2、3，且规定按代数值大小顺序排列。,即： 1 2 3,8-1 应力状态的概念及其描述,8.1.4应力状态的分类：,单向应力状态只有一个主应力不等于零 二向应力状态有两个主应力不等于零 三向应力状态三个主应力都不等于零,8-2 平面应力状态分析解析法,8.2.1斜截面上应力状态,已知如下图a所示的一平面应力状态，其上的正应力和切应力均已知。 可由截面法求与斜截面ef上应力。,如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角为，称为截面。,8-2 平面应力状态分析解析法,8.2.1斜截面上应力状态,应力的正负和斜截面夹角的正负规定：,1）正应力拉为正，压为负； 2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负； 3）对角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，其值为正；反之为负。,取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面上应力和斜截面夹角均为正。,8-2 平面应力状态分析解析法,8.2.1斜截面上应力状态,由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线n和切线t方向可得：,其中dA为斜截面ef的面积。,8-2 平面应力状态分析解析法,8.2.1斜截面上应力状态,简化：, 倍角公式,得：,（8.1）,（8.2）,8-2 平面应力状态分析解析法,8.2.1斜截面上应力状态,（8.1）,（8.2）,公式表明：,（2）取另一截面，令 =/2+，此截面上的应力为,（1）平面应力状态下，一点的应力状态由过该点的两个相互垂直截面上的应力（ x 、 y 和 xy ）确定。,单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。,切应力互等定理。,8-2 平面应力状态分析解析法,8.2.2正应力极值状态,在何处? 该处,（8.3）,8-2 平面应力状态分析解析法,8.2.2正应力极值状态,在何处? 该处,（8.4）,8-2 平面应力状态分析解析法,8.2.3切应力极值状态,在何处?,（8.5）,将三角函数表达式代入（8.2）式，得 ：,（8.6）,8-2 平面应力状态分析解析法,8.2.3切应力极值状态,在何处?,这表明最大和最小切应力平面和主平面的夹角为45。,8-2 平面应力状态分析解析法,例题8.1,试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。,一点处的平面应力状态如图所示。,已知,解：,（1）求 斜面上的应力,8-2 平面应力状态分析解析法,例题8.1,（2）求主应力、主平面,根据已知,8-2 平面应力状态分析解析法,例题8.1,(a),可知三个主应力分别是：,（3）主平面方位,8-2 平面应力状态分析解析法,例题8.1,可解得两个主平面角度：,由已知：,则,对应绝对值较小的角度，15.5 ,对应105.5 ,（4）主单元体,例8.2 讨论圆周扭转时的应力状态，并分析铸铁受扭时的破坏现象。,解：,由危险点处取出单元体如图b,危险点位置：轴最外边缘点m,8-2 平面应力状态分析解析法,铸铁扭转破坏发生在沿与轴线成的45斜截面方向，这是由于脆性材料的抗拉强度较低所造成的。,8-3 平面应力状态分析图解法,8.3.1应力圆方程：,(1),(2),对(1) (2)式两边平方，将两式相加，并利用,消去 和 ，得,(3),8-3 平面应力状态分析图解法,8.3.1应力圆方程：,R,R,比照解析几何的曲线方程 是一个圆心在(a.0), 半径为R的圆，,则 是个应力圆的方程,这种表示一点应力状态的圆形叫做应力圆或者莫尔圆。,应力圆思维分析的工具，而不是计算工具。,8-3 平面应力状态分析图解法,8.3.2应力圆的画法：,（2） 以 x 面应力值作为D 点坐标, 即,（1） 建立直角坐标 系，选定比例尺,（3） 确定D（y ，yx ）点,（4）连D、 D 交轴于 c 点，以 c 点为圆心，CD为半径，作圆,D,c,8-3 平面应力状态分析图解法,8.3.3几种对应关系,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力,转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；,二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。,8-3 平面应力状态分析图解法,8.3.3几种对应关系,8-3 平面应力状态分析图解法,8.3.4应力圆的应用,点面相对应，首先找基准。 转向要相同，夹角两倍整。,（1）用应力圆确定单元体任意截面上的应力,例8.3：单元体如图，绘相应的应力圆 ，从而确定= -40时斜截面上的应力,量得：,图解法求解：,8-3 平面应力状态分析图解法,8-3 平面应力状态分析图解法,8.3.4应力圆的应用,（2）用应力圆确定主应力与主平面,20,A,D,主平面： = 0, 所以应力圆上和横轴交点对应的面就是主平面,8-3 平面应力状态分析图解法,8.3.4应力圆的应用,（2）用应力圆确定主应力与主平面,主应力的确定,8-3 平面应力状态分析图解法,8.3.4应力圆的应用,（2）用应力圆确定主应力与主平面,主应力排序：,s1,s2,s1,(sx ,txy),主方向的确定,负号表示从主应力的正方向 到x轴的正方向为顺时转向,8-3 平面应力状态分析图解法,8.3.4应力圆的应用,（2）用应力圆确定主应力与主平面,8-3 平面应力状态分析图解法,8.3.4应力圆的应用,（3）最大切应力,对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“ 面内最大切应力”。,tmax,例8.4：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和b所示，梁的尺寸见图c。试通过应力圆求截面C上a、b两点处的主应力。,解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图d和e所示：,8-3 平面应力状态分析图解法,由此可得C截面处的弯矩和截面左侧的剪力为：,又因为横截面的惯性矩和计算a点切应力所需的静矩为：,8-3 平面应力状态分析图解法,例8.4：,且：,由此可得C截面上a点处正应力和切应力分别为：,8-3 平面应力状态分析图解法,例8.4：,该点的应力状态如图f所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图g所示。,由应力圆可得a点处的主应力为：,8-3 平面应力状态分析图解法,例8.4：,且：,则1主平面的方位角0为：,显然， 3主平面应垂直与1主平面，如下图所示。,8-3 平面应力状态分析图解法,例8.4：,对C截面上的b点，因yb=0.15m可得：,该点的应力状态如图h所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图i所示。,8-3 平面应力状态分析图解法,例8.4：,b点处的主应力为：,1主平面就是x平面，即梁的横截面C。,8-3 平面应力状态分析图解法,例8.4：,8-4 三向应力状态,已知：一点处,8.4.1三向应力状态的解析表达,（一）解析求解式：,8-4 三向应力状态,1、平行于3方向的一组斜截面上的应力：, 平行于3的斜截面上的应力与3无关,（可按平面应力状态分析）, 用1、2作应力圆，该圆上点坐标代表平行于3的某个斜截面上的应力,利用应力圆分析：,8.4.2三向应力状态的图解表达,8-4 三向应力状态,2、与2平行的一组斜截面上的应力：, 与2无关, 可用由1、3作的应力圆上的各点坐标表示,3、与1平行的一组斜截面上的应力：, 可用由2、3作的应力圆上的各点坐标表示, 与1无关,8.4.2三向应力状态的图解表达,8-4 三向应力状态,4、三向应力状态的应力圆,与三个主应力均不平行的任意方向面上的应力：其对应的点一定在三个应力圆所围区域之内,综上：三向应力状态下，代表某一截面上的应力的点或在三个应力圆圆周上或在其所围阴影范围内,8.4.2三向应力状态的图解表达,8-4 三向应力状态,5、最大应力,最大切应力：,作用面和2平行，和1、3所在面成45,平面应力状态：,8.4.2三向应力状态的图解表达,8-4 三向应力状态,max,max,8-5 广义胡克定律,8.5.1单向胡克定律,时，,2）纯剪应力状态：,1）单向应力状态：,横向线应变：,时，,对图示空间应力状态：,正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为正，反之为负。,六个应力分量，,对应的六个应变分量，,8-5 广义胡克定律,8.5.2空间应力状态,8-5 广义胡克定律,8.5.2空间应力状态,正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。,对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得。,应力对应的六个应变分量，,8-5 广义胡克定律,8.5.2广义胡克定律（叠加原理）,同理可得：,对切应力分量与切应变的关系，有：,8-5 广义胡克定律,8.5.2广义胡克定律（叠加原理）,(8.10),(8.11),综合(8.10)和(8.11)为广义胡克定律。,广义胡克定律适用于空间应力状态下，线弹性和小变形条件下各向同性材料。特定情况会有变型如下。,对平面应力状态：设z=0，xz=0，yz=0，有：,8-5 广义胡克定律,8.5.2广义胡克定律（叠加原理）,若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：,二向应力状态：,8-5 广义胡克定律,8.5.2广义胡克定律（叠加原理）,可见，即使3 =0，但3 0,8-5 广义胡克定律,8.5.3体积应变,单元体变形前 体积V：,单元体变形后各棱边长：,单元体变形后体积V1：,单元体体积应变：,应变用广义胡克定律表示，整理得,即体积应变与三个主应力之和有关,与主应力的大小比例无关.,8-5 广义胡克定律,8.5.3体积应变,讨论:纯剪切平面应力状态的体积应变,剪应力的存在不影响体积应变.,因此对于一般空间的应力状态单元体,8-5 广义胡克定律,8.5.3体积应变,一般,单元体的变形由体积改变和形状改变所组成. 体积改变指形状不变而只是体积大小改变. 形状改变指体积不变而只是形状的改变.,例8.5：已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为1=24010-6，3=16010-6。材料的弹性模量E =210GPa，泊松比=0.3。求该点处的主应力值数，并求另一应变2的数值和方向。,解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：,即为平面应力状态，有,8-5 广义胡克定律,联立两式可解得：,主应变2为：,其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。,8-5 广义胡克定律,例8.5,例8.6：边长a =0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比 =0.34。当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应变以及最大切应力。,8-5 广义胡克定律,联解可得：,受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力，即有：,解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为：,8-5 广义胡克定律,例8.6,利用空间应力状态下最大切应力的计算式可得：,则铜块的主应力为：,由此可得其体应变为：,8-5 广义胡克定律,例8.6,8-6 三向应力状态下应变能,8.6.1应变能的概念,变形能,弹性体受外力变形,外力会作功,弹性体会储存能量,弹性体因变形而储存的能量 V,外力功 =变形能 （在数量上）,应变能密度 ,即,（8.18）,8-6 三向应力状态下应变能,8.6.2单向应力状态下的应变能密度,8.6.3复杂应力状态下的应变能密度,式中主应变用主应力表示,则,（8.19）,8-6 三向应力状态下应变能,8.6.4体积改变能密度vv与畸变能密度vd,vv：因体积变化而储存的应变能密度,vd：因形状变化而储存的应变能密度,v= vv+vd,1、 vv的计算：,由（ 8.18 ）：,8-6 三向应力状态下应变能,8.6.4体积改变能密度vv与畸变能密度vd,2、 vd的计算：,（8.20）,8-7 强度理论的概念,（拉压）,（弯曲）,（剪切）,（扭转）,（正应力强度条件）,（切应力强度条件）,8.7.1基本变形下强度条件的建立,式中,为极限应力,为极限应力,（通过试验测定）,基本变形下的强度条件为什么可以这样建立？ 因为(1)构件内的应力状态比较简单,单向应力状态,纯剪应力状态,(2)用接近这类构件受力情况的试验装置测定极限应 力值比较容易实现。,8-7 强度理论的概念,8.7.1基本变形下强度条件的建立,复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？,它的强度条件是：,8-7 强度理论的概念,8.7.2复杂应力状态下的强度条件研究,不是！ 实践证明：(1)强度与、均有关，相互影响,例：两个物体哪个容易剪断,易剪断 不易剪断,就象推动某物一样：,8-7 强度理论的概念,8.7.2复杂应力状态下的强度条件研究,（2）强度与x、y、z (123)间的比例有关,1=2=0 1=2=3 单向压缩，极易破坏 三向均有受压，极难破坏,石材,8-7 强度理论的概念,8.7.2复杂应力状态下的强度条件研究,实践证明：(1)强度与、均有关，相互影响,例：两个石块哪个容易压坏？,那么，复杂应力状态下的强度条件是什么？怎样建立？ 模拟实际受力情况，通过实验来建立可行吗？,因为(1)复杂应力状态各式各样，无穷多种； (2)实验无穷无尽，不可能完成； (3)有些复杂应力状态的实验，技术上难以实现 怎么办？,长期以来，随着生产和实践的发展，大量工程构件强度失效的实例和材料失效的实验结果表明：无论应力状态多么复杂，材料在常温静载作用下的主要发生两种强度失效形式：一种是断裂，另一种是屈服。,8-7 强度理论的概念,8.7.2复杂应力状态下的强度条件研究,塑性屈服失效,脆性断裂失效,破坏形式与原因初步分析,屈服或滑移可能是tmax 过大所引起 断裂可能是 st,max 或et,max过大所引起,断裂,断裂,断裂,断裂,8-7 强度理论的概念,8.7.2复杂应力状态下的强度条件研究,何谓强度理论？ 根据材料在不同应力状态下强度失效共同 原因的假说，利用单向拉伸的实验结果，建立 复杂应力状态下的强度条件，这就是强度理论。,8-7 强度理论的概念,8.7.3强度理论的概念,8-8 四种常见的强度理论,第一强度理论,强度理论分为两 类:,解释断裂破坏的理论,解释屈服破坏的理论,最大拉应力理论,最大伸长线应变理论,最大切应力理论,畸变能密度理论,第二强度理论,第三强度理论,第四强度理论,8.8.1关于断裂的强度理论,8-8 四种常见的强度理论,强度条件：,1）最大拉应力理论(第一强度理论),假设最大拉应力1是引起材料脆性断裂的因素。不论在什么样的应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力1达到极限应力b，材料就发生脆性断裂，即：,可见：a) 与2、3无关； b) 应力b可用单向拉伸试样发生脆性断裂试验来确定。,实验验证：铸铁：单拉、纯剪应力状态下的破坏与该理论相符；平面应力状态下的破坏和该理论基本相符。,存在问题：没有考虑2、3对脆断的影响，无法解释石料单压时的纵向开裂现象。,8.8.1关于断裂的强度理论,8-8 四种常见的强度理论,假设最大伸长线应变1是引起脆性破坏的主要因素，则：,u用单向拉伸测定，即：,2）最大伸长线应变理论(第二强度理论),实验验证： a) 可解释石材单压时的纵向裂缝； b) 铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符； c) 对铸铁一拉一压的二向应力状态偏安全，但可用。,因此断裂条件为：,强度条件为：,因为：,8.8.2关于屈服的强度理论,8-8 四种常见的强度理论,对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是由45斜截面上的切应力引起的，因而极限应力u可由单拉时的屈服应力求得，即,3）最大切应力理论(第三强度理论),假设最大切应力max是引起材料塑性屈服的因素，则：,因为：,由此可得，强度条件为：,8.8.2关于屈服的强度理论,8-8 四种常见的强度理论,实验验证：,c) 二向应力状态基本符合，偏于安全。,b) 不适用于拉压性能不相同的脆性材料。,a) 适用于拉压性能相同的塑性材料；,b) 低碳钢单拉(压)对45滑移线吻合；,存在问题：,没考虑2对屈服的影响，偏于安全，误差10%15%；,3）最大切应力理论(第三强度理论),8.8.2关于屈服的强度理论,8-8 四种常见的强度理论,假设形状改变能密度vd是引起材料塑性屈服的因素，即：,4）形状改变能密度理论(第四强度理论),因为单向拉伸屈时有：,可通过单拉试验来确定。,所以(8.20)：,又：,因此：,由此可得强度条件为：,与最大切应力理论相比，精度更高,8.8.3强度理论的统一形式,8-8 四种常见的强度理论, 相当应力，或计算应力.,最大拉应力理论：,第一强度理论,最大伸长线应变理论：,第二强度理论,最大切应力理论：,第三强度理论,畸变能密度理论：,第四强度理论,各强度理论的适用范围：,一般情况,塑性材料 屈服破坏;,特殊情况,无论塑、脆性材料，用第三、四强度理论,三向受拉,无论塑、脆性材料，用第一、二强度理论,8.8.3强度理论的统一形式,8-8 四种常见的强度理论,例题8.8：,已知 ：铸铁构件上 危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应力 =30MPa。试校核该点的强度。,8-8 四种常见的强度理论,解：首先根据材料和应力 状态确定破坏形式， 选择强度理论。,r1 = max= 1 ,脆性断