《微分运算》PPT课件.ppt

科学计算软件 第八章,微分运算,8.1 极限的计算,Mathematica中使用Limit命令来计算极限，它总是力求确定极限的准确值 Limitfx,x-a: 计算 的值 例1 计算 Limit(x5-32)/(x3-8),x-2 Factorx5-32 Factorx3-8,8.1 极限的计算,可以利用Direction选项确定左、右极限的计算 Direction-1: 计算左极限，即x从左边趋近于a Direction-1: 计算右极限，即x从右边趋近于a Limit的默认值为Direction-Automatic，除了在无穷远点外，方向为右极限。 对于非连续函数，最好指定Direction，采用默认值可能会得到不正确的结果,8.1 极限的计算,例2 考虑极限 如果没有选定方向，默认计算右极限 LimitAbsx/x,x-0 LimitAbsx/x,x-0,Direction-1 LimitAbsx/x,x-0,Direction-1,8.1 极限的计算,例3 Mathematica也可以计算无穷极限及在无穷远点处的极限 Limit1/x,x-0,Direction-1 Limit1/x,x-0,Direction-1 Limit(2x2+3x+4)/(x2+1),x-Infinity,Direction-1,8.1 极限的计算,例4 当x趋向某点时极限不存在，但f(x)有界时，Limit命令会返回一个区间min,max，表示值的范围在此区间之内 LimitSin1/x,x-0 LimitTan1/x,x-0,习题解答,8.6 如果每年支付利息n次，年利率为r，那么p美元在t年后变为p(1+r/n)nt美元，假设如果连续计息（n-infinty）,那么t年后钱数为多少？ Limitp(1 + r/n)(n t), n - Infinity,习题解答,8.7 函数的导数定义为极限 利用这个定义计算f(x)=Logx+x5+sinx的导数 fx_=Logx+x5+Sinx; Limit(fx+h-fx)/h,h-0,习题解答,8.8 函数的2阶导数可以用 极限计算得到。 利用这个极限计算fx=lnx+x5+sinx的2阶导数,习题解答,利用这个极限计算fx=lnx+x5+sinx的2阶导数 fx_=Logx+x5+Sinx; Limit(fx+h-2fx+fx-h)/h2,h-0,8.2 导数的计算,如果fx表示一个函数，那么它的导数表示为fx。高阶导数用fx、fx.等表示 例5 fx_=x5+x4+x3+x2+x+1 fx fx fx,8.2 导数的计算,撇号也可作用到内置函数上。 如果不给出参数，Mathematica就返回一个纯粹函数，表示所要求的导数(有关纯粹函数见附录A1) Sqrt Sqrtx Sqrt Sqrtx,8.2 导数的计算,用撇号表示高阶导数并不方便 Dfx,x：返回f相应于变量x的导数 Dfx,x,n：返回f相应于变量x的n阶导数 例7 Dx5+x4+x3+x2+x+1,x Dx5+x4+x3+x2+x+1,x,2 Dx5+x4+x3+x2+x+1,x,3,8.2 导数的计算,计算导数，也可以使用模板上的偏导符号 返回相应于x的n阶导数 例8 D(x5+x4+x3+x2+x+1),x,3,8.2 导数的计算,Derivativen是一个算子，它作用到一个函数上，得到一个新的函数，即函数的n阶导数 Derivativenf用纯粹函数的形式给出f的n阶导数 Derivativenfx计算f在x点的n阶导数，x为具体数或为符号 在Mathematica内部，f被转化为Derivative1f,8.2 导数的计算,例9 fx_:=x5+x4+x3+x2+x+1; Derivative1f Derivative1fx,8.2 导数的计算,计算导数在特定点的多种方法，注意:=的用法 例10 fx_=(x2-x+1)5; f1 Dfx,x,2/.x-1 g:=Derivative2f g1 fx_=x3 g1,8.2 导数的计算,作为符号计算软件，Mathematica可以方便的进行公式推导，包括导数的运算法则 例 11 Clearf,g Dfx+gx,x Dfx gx,x Dfx/gx,x/Together Dfgx,x,8.2 导数的计算,例12 证明函数fx=(x3+2x2+15x+2)SinPi x在区间0,1上满足罗尔定理，求出定理中所声称的点c fx_= (x3+2x2+15x+2)SinPi x f0 f1 FindRootfc=0,c,0.5 Plotfx,f.640241,x,0,1,中值定理,令f为有限闭区间a,b上的连续函数，并在开区间(a,b)上可微，则存在一个数c，介于a与b之间，使得f(b)-f(a)=f(c)(b-a) 罗尔定理与中指定理都保证至少存在一个数c，实际中可能存在满足条件的多个数,中值定理,例13 对于函数fx_=Sqrtx+Sin2Pi x，求出使得中值定理在区间0,2上成立的c值 fx_=Sqrtx+Sin2Pi x a=0;b=2; m=(fb-fa)/(b-a); Plotfx-m,x,0,2,PlotRange-8,8,中值定理,FindRootfc=m,c,.3 FindRootfc=m,c,.7 FindRootfc=m,c,1.3 FindRootfc=m,c,1.7,习题解答,8.11 在同一坐标系中绘出f(x)=x4-50x2+300及其导数在-10GrayLevel0,Dashing.015,PlotLegend-“fx“,“fx“;,习题解答,8.12 给定函数f(x)，其图形为C，C在点a的切线斜率为f(a)。令f(x)=sin x，画出函数图像及其在a=PI/3处的切线. 过点(x1,y1)，斜率为m的直线方程为 y-y1=m(x-x1) 或 y=y1+m(x-x1) 切线斜率为m=f(a)，切线方程为 y=f(a)+f(a)(x-a),习题解答,8.12 给定函数f(x)，其图形为C，C在点a的切线斜率为f(a)。令f(x)=sin x，画出函数图像及其在a=PI/3处的切线. fx_=Sinx; a=Pi/3; lx_=fa+fa(x-a); Plotfx,lx,x,0,2Pi;,8.3 最大值与最小值,称函数f在区间I中c点达到绝对最大值，指对I中所有点x， f(c) =f(x)成立，即f(c)是f(x)在I上的最大值。 最小值可类似定义 最值定理：如果f为有界闭区间上的连续函数，则f在这个区间既具有绝对最大值，也具有绝对最小值 注意：最值是全局性的概念，极值是局部性概念,8.3 最大值与最小值,如果函数在有界闭区间a,b上连续，则其最大值和最小值出现在驻点或者区间端点 求最大值和最小值的步骤 (1).求驻点和不可导点; (2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较大小，哪个大哪个就是最大值，哪个小哪个就是最小值,8.3 最大值与最小值,例14 计算函数fx_=x4-4x3+2x2+4x+2在区间0，4上的绝对最大值和最小值。首先求其临界点 fx_=x4-4x3+2x2+4x+2; Solvefx=0 c1=0;c2=1;c3=1+Sqrt2;c4=4; pointstocheck=c1,fc1,c2,fc2,c3,fc3, c4,fc4/Expand TableFormpointstocheck,TableHeadings-None,“x“,“fx“,8.3 最大值与最小值,例15 一根线长100英寸，要用它构成一个正方形和一个圆形。请问如何分配，才能使它所围成的图形面积和 a)最大；b)最小 设正方形的边长为x，圆的半径为r 两个形状的组合面积为A(x)=x2+Pi r2 圆的周长为2Pir，正方形周长为4x 4x+2Pi r=100 0=x=25 还有其它设置变量的形式吗？书上为什么要这样处理？,8.3 最大值与最小值,Cleara Solve4 x+2Pi r=100,r (*从周长的约束中解出r关于x的表达式，*) ax_=x2+Pi r2/.r-2(-25+x)/Pi (*定义面积函数a，自变量统一为x*) Solveax=0 (*求出临界点*) x1=0; x2=100/(4+Pi) x3=25,8.3 最大值与最小值,pointstocheck= x1,ax1,Nax1, x2,ax2, Nax2,x3,ax3,Nax3 /Together; TableFormpointstocheck,TableHeadings-None,“x“,“ax“,“Nax“ (*列表给出驻点处的面积值*) Signa100/(4+Pi) (*使用二阶导数验证最小值*),8.3 最大值与最小值,局部极值 FindMinimumfx,x,x0：求出f(x)靠近x0点的局部极小值 如何求局部极大值？ max( f(x)=-min(-f(x),8.3 最大值与最小值,例16 函数f(x)=x+Sin 5x在区间0,Pi中有3个极大值点，2个极小值点 fx_=x+Sin5 x; Plotfx,x,0,Pi FindMinimumfx,x,1 FindMinimumfx,x,2 -FindMinimum-fx,x,0.4 -FindMinimum-fx,x,1.6 -FindMinimum-fx,x,2.8 -FindMinimum-fx,x,2.8,Method-Newton,习题解答,8.16 求出两个和为50的正数，使得第一个数的平方根加上第二个数的立方根尽可能大 y=50-x; fx_=Sqrtx+y(1/3); Plotfx,x,0,50 NSolvefx=0 FindMinimum-fx,x,40,习题解答,8.17 一个圆柱被单位球面所截。(a)求出最大可能的体积 (b)求出最大可能的表面面积 球面的大小是确定的，只需确定圆柱的半径即可 所截体积和面积以球的体积和面积为一个上界，当圆柱的半径趋于0时，所截体积和面积趋于0，所以所截得的体积和面积是有界的。 问题即求所截体积和面积的上确界。,习题解答,记被截圆柱的半径与高分别为r与h，被截圆柱的体积为 r与h的关系可由勾股定理求得 被截圆柱的体积V可表示为,习题解答,vh_=Pi (1-(h/2)2) h Solvevh=0,h vmax