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第三章 矩阵力学基础 力学量和算符,复旦大学 苏汝铿,第三章 矩阵力学基础 力学量和算符,本章目的： 建立另外一套量子化的方案，即通过算符的对易关系进行正则量子化的方案 研究量子力学中的算符的性质，特别是线性厄米算符 讨论力学量的测量，特别是不确定性原理；以及力学量随时间的变化 守恒律,3.1 力学量的平均值,问题： 何谓波函数完全地描述了一个量子态？ 力学量用算符表示的实质是什么？为什么力学量可用算符表示？,3.1 力学量的平均值,坐标函数的平均值：,3.1 力学量的平均值,3.1 力学量的平均值,3.1 力学量的平均值,3.1 力学量的平均值,3.1 力学量的平均值,3.1 力学量的平均值,结论：平均值公式,3.2 算符的运算规则,定义,3.2 算符的运算规则,算符运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,算符的矩阵形式,二维矢量空间,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,3.2 算符的运算规则,结论： 体系的一个量子态希尔伯特空间中一个向量 给定一组基矢，即给定一个表象，量子态波函数 一个算符一个矩阵,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,厄米算符的引入,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,厄米算符的性质 厄米算符的平均值是实数(充分性),3.3 厄米算符的本征值和本征函数,厄米算符的平均值是实数(必要性),3.3 厄米算符的本征值和本征函数,厄米算符的平均值是实数(必要性),3.3 厄米算符的本征值和本征函数,厄米算符的本征值为实数,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,厄米算符属于不同本征值的本征函数正交,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,厄米算符的简并本征函数经重新组合后可以正交归一,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,厄米算符的本征函数有完备性,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,厄米算符的本征函数有封闭性,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,3.3 厄米算符的本征值和本征函数,结论 厄米算符的本征函数系：正交、归一、完备、封闭 厄米算符的本征值、平均值均为实数 量子力学中的力学量对应线性厄米算符,3.4 连续谱本征函数,线性厄米算符的本征函数示例,3.4 连续谱本征函数,3.4 连续谱本征函数,3.4 连续谱本征函数,连续谱本征函数归一化 无穷空间：归delta函数，连续谱 箱归一化：引入周期性边界条件，分立谱,3.4 连续谱本征函数,周期性边界条件,3.4 连续谱本征函数,3.4 连续谱本征函数,3.4 连续谱本征函数,3.4 连续谱本征函数,3.4 连续谱本征函数,3.5 量子力学中力学量的测量值,在F的本征态中测量F有准确值,3.5 量子力学中力学量的测量值,3.5 量子力学中力学量的测量值,在非F的本征态中测量F，有可能值及平均值,3.5 量子力学中力学量的测量值,不同力学量同时有确定值的条件 若F, G = 0 必有共同本征函数系 充要条件 有简并时可重新组合,3.5 量子力学中力学量的测量值,注意： 如果F和G不对易，必无共同本征函数系，但不排除在某些特殊态中测量时有确定值，例如 Lx和Ly不对易，但在 中测量Lx,Ly均得到零,3.5 量子力学中力学量的测量值,完全集 如px, py, pz, H, L2, Lz等等 简并来自不完全测量,3.6 不确定性原理,问题： 若算符A, B不对易，在A本征态中测A有确定值，测B如何? 在非A，非B的本征态中测A及B，结果如何?,3.6 不确定性原理,3.6 不确定性原理,3.6 不确定性原理,3.6 不确定性原理,3.6 不确定性原理,讨论： 不确定性原理是波粒二象性的反映，与是否测量无关 单缝衍射实验 零点能,3.6 不确定性原理,3.6 不确定性原理,3.6 不确定性原理,3.6 不确定性原理,角动量算符,3.6 不确定性原理,互补原理及其哲学探讨,3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分,算符的运动方程式,3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分,3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分,3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分,3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分,若F不显含t， 且F, H0，则F守恒 守恒量在任何态下的平均值与t无关 在任何态下，测F可能值，出现各种可能值的几率分布与t无关 若t0时，F有确定值tt时也有确定值 若t0时，F无确定值tt时也无确定值 守恒量对应好量子数 若F与G不对易，且F、G均为守恒量能级简并,3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分,宇称算符P 直角坐标 x-x, y-y, z-z 球坐标 r不变, -, - 宇称算符既是厄米的，又是么正的,3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分,宇称算符P 本征值为+1或-1 若体系的哈密顿量H在空间反演下不变，则宇称算符P与H对易：P，H0 宇称守恒：若初态有确定宇称，则以后任何时刻，体系的状态均有相同宇称,3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分,宇称算符P,3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分,宇称算符P 偶宇称算符 奇宇称算符