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6.2 分式线性映射,一、分式线性映射,分式线性映射定义为,、 、 、 均为常数。,其中,条件 是为了使,因此分式线性映射是保角映射。,在扩充复平面上补充定义如下：,映射为,当 时,映射为,映射为,当 时,对于分式线性映射,容易求出该映射的逆映射,由于,因此分式线性映射的逆映射仍是分式线性,容易验证分式线性映射的复合仍是分式,线性映射。,映射,且为扩充复平面上的一一映射。,二、分式线性映射的分解,当 时，,可化为：,记,则上式可分解为以下映射的有限次复合,下面分别讨论这四类映射：,（1）,设,则映射化为,平移公式,（2）,由,则该映射保持 的模不变，辐角旋转 。,为实数,（3）,则,该映射保持 的方向不变，模放大 倍。,（4）,（称为反演变换）,该映射可分解为：,为了讨论反演变换的几何意义，下面,先给出关于圆周的对称点的定义：,设 为以原点 为圆心， 为半径的圆周。,在以圆心为起点的射线上，,若有两点 与 ，,则称 与 关于,圆周 对称。,满足,如图，从 作圆周 的切线 ，,由 作 的垂线 与 交于 ，,则 与 关于圆周 对称。,规定：无穷远点,关于圆周的对称点,为圆心 。,因此 ，,若设 ，则 ，,则 与 是关于单位圆周,的对称点（如图）。,又 ，,轴的对称点（如图）。,则 与 是关于实,这样可得出反演变换 的几何意义。,先求 关于单位圆周 的对称点 ，,再求 关于实轴的对称点，,即得 。,三、分式线性映射的性质,1、保角性,对于映射,显然在 时导数非零，是保角的。,对于反演映射 ，,显然在 ，,时，导数非零，是保角的。,下面定义两条曲线在无穷远点的夹角：,规定其等于它们在映射 下所映成的,通过原点 的两条像曲线的夹角。,下面以 为例说明 处的,保角性：,令,则 成为,该映射在 处解析，且导数不为零，,因此，在 处，,即 在,处是保角的。,同理其它几个映射在 处也是保角的。,类似地可以证明反演变换在 处是保,角的。,综上可得下面定理。,定理6.6,分式线性映射在扩充复平面上是,一一对应的保角映射。,2、保圆性,在扩充复平面上直线可看作是半径无穷,大的圆周，,以下提到圆周时均包括直线。,为平移变换,为旋转变换,为将模放大 倍,这三个映射在扩充复平面将圆周映成圆周，,该性质称为保圆性。,下面讨论反演变换 是否具有保圆性。,平面上的圆方程为：,令,、,则 变形为：,整理得：,、,时为直线,代入圆方程为：,即：,时为直线,说明反演变换将复平面上的圆周映成圆周。,定理6.7,分式线性映射将扩充 平面上的,圆周映射成扩充 平面上的圆周。(保圆性),3、保对称性,引理6.1,必要条件是，,点 与 关于圆周 对称的充分,经过 与 的所有圆周都与,圆周 正交。,（证略）,定理6.8,
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