金榜1号文科数学第一轮复习(广东专版)课件：第9章课时7轨迹方程的求法.ppt

第九章 圆锥曲线与方程,第七课时 轨迹方程的求法,考纲要求,了解方程与曲线的方程的对应关系.,知识梳理,一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念 在直角坐标系中，如果某曲线C（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.,二、求曲线（轨迹）方程 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.,这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力. 它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程.因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用.,1.用直接法求曲线（轨迹）方程的基本步骤 （1）建系设点：建立适当的直角坐标，设曲线上任一点坐标M(x,y)； （2）列几何等式：写出适合条件的点的集合P=M|P(M)，关键是根据条件列出适合条件的等式； （3）化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程； （4）化简：把方程f(x,y)=0化成最简形式； （5）证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程. 除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤（5）可以省略不写.如有特殊情况，可适当加以说明，步骤（2）也可省略.,2求曲线轨迹方程应注意的问题 （1）要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x,y的取值范围，保证轨迹的纯粹性； （2）若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性； （3）曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置、类型.,基础自测,1已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足 ，则点P的轨迹是（） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2设k1，则关于x、y的方程（1k）x2+y2=k21所表示的曲线是（） A.长轴在y轴上的椭圆 B.长轴在x轴上的椭圆 C.实轴在y轴上的双曲线 D.实轴在x轴上的双曲线,答案：D,答案：C,3已知椭圆 的两个焦点分别是F1，F2，P是这个椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得PQF2P，求Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.,4.(2010年潜山联考)对于曲线C ：，给出下面四个命题： 曲线C不可能表示椭圆； 当1k4时，曲线C表示椭圆； 若曲线C表示双曲线，则k1或k4; 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1k5/2 其中所有正确命题的序号为.,典例试解,已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(0)，求动点M的轨迹.,解析：设MN切圆C于N， 则|MN|2=|MO|2|ON|2.设M(x,y),则,化简得(21)(x2+y2)42x+(1+42)=0.,(1)当=1时，方程为x=5/4，表示一条直线.,（2）当1时，方程化为 表示一个圆.,点评：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么.,变式探究,1.设椭圆与双曲线有共同焦点F1(-4,0),F2(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.,答案： (x-5)2+y2=9或(x+5)2+y2=9,如右图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，其中AP=100 m，BP=150 m，APB=60，问怎样运才能最省工？,.解析：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿到P较近，三是沿AP或BP一样近.其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为分界线上的任一点，则有，,即|MA|MB|=|PB|PA|=50|AB|= ，故M在以A，B为焦点的双曲线的右支上.建立如图直角坐标系，得边界的方程为 故运土时为了省工，在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处，在曲线上面的土两边都可运.,变式探究,2.如右图，在平面直角坐标系中，N为圆A:(x+1)2+y2=16上的一动点，点B（1，0），点M是BN中点，点P在线段AN上，且 （1）求动点P的轨迹方程； （2）试判断以PB为直径的圆与 圆x2+y2=4的位置关系，并说明理由.,解析：（1）由点M是BN中点， 可知PM垂直平分BN，所以|PN|=|PB|,又|PA|+|PN|=|AN|, 所以|PA|+|PB|=4， 由椭圆定义知，点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆.,设椭圆方程为 由2a=4,2c=2,可得a2=4,b2=3. 可知动点P的轨迹方程为,（2）设点P(x0,y0),PB的中点为Q,则,即以PB为直径的圆的圆心为,半径为r1=11/4x0,又圆x2+y2=4的圆心为O（0，0），半径r2=2,故|OQ|=r2r1,即两圆相切.,如右图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.,思路分析：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程.利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程,解析：设AB的中点为R，坐标为(x,y)， 则在RtABP中，|AR|=|PR|. 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)， 又|AR|=|PR|= ， 所以有(x4)2+y2=36(x2+y2), 即x2+y24x10=0.,因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，,所以x1=(x+4)/2,y1=(y+0)/2, 代入方程x2+y24x10=0,得,整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.,点评：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.,变式探究,3.如右图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程.,答案： 2x2-2y2-2x+2y-1=0,经过抛物线y2=2p(x+2p)(p0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程.,解析：A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为(2p/k22p,2p/k)，由于AC与AB垂直，则AC的方程为y=1/k(x+2p)，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为(2k2p2p,2kp)，又M为BC中点，设M（x,y）,则,消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线.,变式探究,4求过点M(1,0)所作椭圆x2/4+y2=1的弦的中点的轨迹方程.,答案：,x2+4y2x=0,(2009年宁夏海南卷)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1. （1）求椭圆C的方程； （2）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP|/|OM|=e（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.,解析：（1）设椭圆长半轴长及半焦距长分别为a,c,由已知得,解得a=4,c=3,所以椭圆C的方程为,（2）设M（x,y）、P(x,y1),其中x-4,4.,由已知得,而e=3/4，故16(x2+y12)=9(x2+y2). 由点P在椭圆C上得，y12=(112-7x2)/16 代入式并化简得9y2=112,所以点M的轨迹方程为 轨迹是两条平行于x轴的线段.,变式探究,5.(2010年启东中学测试)已知以向量v=(1,1/2)为方向向量的直线l过点(0,5/4)，抛物线C：y2=2px(p0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上 （1）求抛物线C的方程； （2）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若 (O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程,（1）y2=4x （2）x=-2(y0),答案：,课时升华,1.求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； 2.求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0； (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数. (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；,(4)代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化，并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示x0,y0，再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程； (5)参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程. 3.值得注意的几点 (1)如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化.,(2)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. (3)在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式”、“求变量范围构造不等关系”等等. (4)如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.,体验高考,(2009年山东卷)设mR,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),ab,动点M(x,y)的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m=1/4,设直线l与圆C:x2+y2=R2(1R2)相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.,（1）因为ab,a=(mx,y+1),b=(x,y-1), 所以ab=mx2+y2-1=0,即mx2+y2=1. 当m=0时,方程表示两直线,方程为y=1; 当m=1时, 方程表示的是圆； 当m0且m1时,方程表示的是椭圆; 当m0时,方程表示的是双曲线.,(2)证明：当m=1/4时, 轨迹E的方程为x2/4+y2=1,设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t,解方程组,x2+4(kx+t)2=4,即(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0, 要使切线与轨迹E恒有两个交点A、B, 则使=64k2t2-16(1+4k2)(t2-1)=16(4k2-t2+1)0, 即4k2-t2+10,即t24k2+1,且,y1y2=(kx1+t)(