高等数学第十二章微分方程第一节基本概念第二节可分离变量.ppt

第十二章,微分方程,上页 下页 返回 结束,Music,积分问题的反问题,基本微分方程的解法,应用广泛,微分方程,初始条件,第十二章 微分方程,第一节,上页 下页 返回 结束,微分方程的基本概念,微分方程的解,例1.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,因此所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .,上页 下页 返回 结束,一、引例,例2. 列车在平直路上以,的速度行驶, 制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知,对前一式积分两次, 得,利用后两式求得,因此所求运动规律为,求 s = s (t) .,上页 下页 返回 结束,常微分方程，,偏微分方程.,含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程 . 例如,二、微分方程的基本概念,（2）分两类：,上页 下页 返回 结束,注 （1）在微分方程中，可以不出现自变量或,未知函数，但未知函数的导数必须出现.例如，,不是微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分,方程的阶.,n 阶常微分方程的一般形式是,( n 阶显式微分方程),或,微分方程的解, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中包含任意常数, 且独立任意常数的,个数与方程的阶数相同.,特解, 确定了通解中任意常数的值，所得解.,其图形称为积分曲线.,通解:,特解:,上页 下页 返回 结束, 确定通解中任意常数的条件.,一般地，n 阶方程的初始条件有n 个:,初始条件,上页 下页 返回 结束,二阶方程的初始条件有2个:,一 阶方程的初始条件有1 个:,求微分方程满足初始条件的解（即求特解）， 叫做微分方程的初值问题,例1. 验证函数,是微分方程,的解,的特解 .,解,这表明,是方程的解 , 且,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,所求特解为,故所给函数是方程的通解.,并求满足初始条件,上页 下页 返回 结束,求所满足的微分方程 .,例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,解 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,上页 下页 返回 结束,从第二节开始，研究微分方程的解法.重点按类型处理一阶和二阶方程,特别注意,25处理一阶方程的解法,分四种类型:,可分离变量、,一阶微分方程是含 x, y, y 的方程，一般形式：,在一定条件下，可解出 y, 写成,上页 下页 返回 结束,不同类型的方程有不同解法.,齐次方程、,一阶线性、,全微分方程,第十二章 微分方程,第二节,上页 下页 返回 结束,可分离变量的微分方程,或,一阶微分方程,若一阶方程可化为变量分离 的方程,则称为可分离变量的微分方程.,变量分离的微分方程.,可分离变量方程的解法:,两边积分, 得,将积分的结果写成,称为隐式通解, 或通积分.,由确定的隐函数 y(x) 就是的解.,上页 下页 返回 结束,首先分离变量, 得,例1. 求微分方程,的通解.,解 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,注 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增解,或减解.,( 最后的等式包含分离变量时丢失的解 y = 0 ),上页 下页 返回 结束,例2. 解初值问题,解 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,上页 下页 返回 结束,例3. 求下述微分方程的通解:,解 作变量代换, 令,则,原方程化为,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解为,上页 下页 返回 结束,例 4.,解一 分离变量,通解为,( C 0 ),解二,原方程化为,积分, 得,( C 为任意常数 ),所求通解:,上页 下页 返回 结束,积分, 得,例5. 在室温20的环境中将100的水倒入杯中自 然冷却，5分钟时水温为60，求水温与时间的关系.,解 设t分钟时水温为u, u = u(t), 则水温下降速度为,由物理学，冷却速度与水温和室温之差成正,比，即,将方程分离变量并积分，得,通解,此外，,将初始条件代入通解，解得,所求函数关系为,上页 下页 返回 结束,例6.,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.,解 根据题意,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知 t = 0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,上页 下页 返回 结束,例7.,成正比,求,解 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,上页 下页 返回 结束,例8. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变,解 由水力学知, 单位时间水从孔口流出的流量为,即,求水,小孔横截面积,化规律.,设在,内水面高度由 h 降到,上页 下页 返回 结束,相应地, 体积的改变量约为,因此得初值问题:,将方程分离变量:,上页 下页 返回 结束,两端积分, 得,利用初始条件, 得,因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:,上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 微分方程的基本概念,微分方程;,初始条件;,2. 可分离变量方程的求解方法:,注 通解不一定是方程的全部解 .,的全部解是,后者是通解 , 但不包含前一个解 .,例如, 方程,分离变量后积分.,解;,阶;,通解;,特解,y = x 及 y = C,上页 下页 返回 结束,根据问题的背景列方程.,常用的方法:,1) 根据几何关系列方程 ( 如1 例2 ),2) 根据物理规律列方程 ( 如本节例5 、 6、7 ),3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如例8 ),(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定初始条件.,(3) 求出通解, 并根据初始条件确定特解.,3. 解微分方程