高等数学教案(极限部分)1数列极限.ppt

应用数理学院应用数学学科部,高等数学,（第二版）,2,第1章 极限与连续,函数极限的概念,函数极限的性质与计算,函数的连续性,极限存在准则与两个重要极限,数列极限,3,数列的概念,数列极限的概念,数列极限的性质,1.1 数列极限,4,无限！,再没有其它的问题, 希尔伯特,如此深刻地打动过人类的心灵.,极限概念是从常量到变量,从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键.,极限的思想源远流长.,5,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,例 割圆术,刘 徽,一、两个实例,(三世纪),6,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,以极限的记法即,7,截丈问题,例,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,第n天截下的杖长总和为,庄子(约公元前355275年),8,定义,按照自然数的顺序排列的一列数,简记为,通项,或者一般项.,二、数列的概念,称为数列.,如,或,9,（1）数列也可看作自变量为正整数 n的函数，,整标函数或下标函数。,说明,10,(2) 在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,不可将这串点连成曲线.,则数列的几何意义是,平面上一串分离的点.,11,三、数列极限的定义,请观察以下数列,12,数列极限的直观定义,例如,13,可以看出，,当 n 无限增大时，,无限接近 1,“ 1” 是它的极限.,无限增大,无限接近,越来越大, 即,14,如,只要项号 n 满足,要使,只要项号 n 满足,就有,而要使,15,故只要项号 n 满足,一般地，当取任意小的正数 ，都能说明,可以找到这样的项号 N,只要位于N 项以后的,一切项即,事实上就,用量化方式说清了 无限接近 a .,16,定义,(数列极限的 数量化定义),恒有,设 为一数列，,若存在定数 a,则称 a 为数列,的极限，,或称数列 收敛于 a, 并记为,或记为,17,若不存在这样的定数 a,则说数列 没,或说数列 发散，,也说 不存在.,有极限,定义中关键字的意义:,刻画 与 a 可以无限接近的程度,(1)正数 ,“任意给定”，,“可以任意小”；,被满足的时刻，,指明对给定的正数 ，,(2)正整数N = N( ) ,“N 不唯一”、,“N依 而定”、,“N 可大不可小”.,18,(3) 绝对值不等式 ,则表明 与a可以无限接近.,即当 n N 以后，所有的点 都将落在,内，,而此区间外至多只有有限,个点即,19,例,分析,对于,即要使,于是只要取,有以上的推导全便成立,(先设q不为零),20,证,恒有,若 q = 0, 结论成立 ;,(无妨取 0 1),使得,根据定义 ,一般情况:,21,例 设,证,求证:,对于,于是,（分析）,22,定理1(极限的唯一性),如果数列收敛，那么它的极限唯一.,证,反证法. 若同时有,且a b ,由定义,对,当 时，,当 时，,使得,四、 数列极限的性质,23,故收敛数列极限唯一.,于是, 两式应同时成立，但这是不可能的!,24,定理2 (收敛数列的有界性),若数列 收敛,则数列 一定有界.,证,对于,恒有,于是,设,令,25,则它必发散.,从 定理2 可知 ,若 无界,定理条件充分非必要,定理3 (收敛数列的保号性),有 同号.,设,使得,26,证,因此有,因,对于,27,用保号性定理易证此定理,略,定理4 (收敛数列的保序性),使当 n N，,28,数列 的子列 , 关于子列的脚标有三点规定:,(2) 子列的序号不是 ,而是 k ,表示,在子列是第 k 项, 是原序列的第 项;,上升的，,29,定理5 (收敛数列与其子序列间的关系)*,若,则,证,