2018年高考数学复习演练第四章三角函数解三角形含2014_2017年真题.docx

专题四 三角函数、解三角形考点1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式1.(2016全国，5)若tan ，则cos22sin 2()A. B. C.1 D.1.A tan ，则cos22sin 2.2.(2015重庆，9)若tan 2tan ，则()A.1 B.2 C.3 D.42.C3.3.(2014大纲全国，3)设asin 33，bcos 55，ctan 35，则()A.abcB.bcaC.cbaD.cab3.Cbcos 55sin 35sin 33a，ba.又ctan 35sin 35cos 55b，cb.cba.故选C.4.（2017北京,12）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin= ，则cos（）=_ 4. 方法一：角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，sin=sin= ，cos=cos，cos（）=coscos+sinsin=cos2+sin2=2sin21= 1= 方法二：sin= ，当在第一象限时，cos= ，角的终边关于y轴对称，在第二象限时，sin=sin= ，cos=cos= ，cos（）=coscos+sinsin= + = ：sin= ，当在第二象限时，cos= ，角的终边关于y轴对称，在第一象限时，sin=sin= ，cos=cos= ，cos（）=coscos+sinsin= + = 综上所述cos（）= ，故答案为： 5.（2017新课标,14）函数f（x）=sin2x+ cosx （x0， ）的最大值是_ 5. 1 f（x）=sin2x+ cosx =1cos2x+ cosx ，令cosx=t且t0，1，则f（t）=t2+ + =（t ）2+1，当t= 时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1.考点2 三角函数的图象与性质1.（2017天津,7）设函数f（x）=2sin（x+），xR，其中0，|x若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2，则（） A. = ，= B. = ，= C. = ，= D. = ，= 1. A 由f（x）的最小正周期大于2，得 ，又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ，T=3，则 ，即 f（x）=2sin（x+）=2sin（ x+），由f（ ）= ，得sin（+ ）=1+ = ，kZ取k=0，得= ，= 故选A2.（2017新课标,9）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是（） A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C22. D 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到函数y=cos2（x ）=cos（2x ）=sin（2x+ ）的图象，即曲线C2 ， 故选D3.（2017新课标,6）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（ ） A、f（x）的一个周期为2B、y=f（x）的图象关于直线x= 对称C、f（x+）的一个零点为x= D、f（x）在（ ，）单调递减3. D A函数的周期为2k，当k=1时，周期T=2，故A正确，B当x= 时，cos（x+ ）=cos（ + ）=cos =cos3=1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确，C当x= 时，f（ +）=cos（ + ）=cos =0，则f（x+）的一个零点为x= ，故C正确，D当 x时， x+ ，此时余弦函数不是单调函数，故D错误，故选D.4.(2016浙江，5)设函数f(x)sin2xbsin xc，则f(x)的最小正周期()A.与b有关，且与c有关 B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关 D.与b无关，但与c有关4.B 因为f(x)sin2xbsin xcbsin xc，其中当b0时，f(x)c，f(x)的周期为；b0时，f(x)的周期为2.即f(x)的周期与b有关但与c无关，故选B.5.(2016四川，3)为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin 2x的图象上所有的点() A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度5.D由题可知,ysinsin,则只需把ysin 2x的图象向右平移个单位，选D.6.(2016北京，7)将函数ysin图象上的点P向左平移s(s0)个单位长度得到点P.若P位于函数ysin 2x的图象上，则()A.t，s的最小值为 B.t，s的最小值为C.t，s的最小值为 D.t，s的最小值为6.A点P在函数ysin图象上，则tsinsin.又由题意得ysinsin 2x，故sk，kZ，所以s的最小值为.7.(2016全国，12)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.57.B 因为x为f(x)的零点，x为f(x)的图象的对称轴，所以kT，即T，所以4k1(kN*)，又因为f(x)在上单调，所以，即12，由此得的最大值为9，故选B.8.(2016全国，7)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A.x(kZ) B.x(kZ)C.x(kZ) D.x(kZ)8.B 由题意将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y2sin，由2xk得函数的对称轴为x(kZ)，故选B.9.(2015山东，3)要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位9.Bysinsin，要得到ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象向右平移个单位.10.(2015湖南，9)将函数f(x)sin 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，有|x1x2|min，则()A. B. C. D.10.D易知g(x)sin(2x2)，由|f(x1)f(x2)|2及正弦函数的有界性知，或由知(k1，k2Z)，|x1x2|min，由，同理由得.故选D.11.(2015四川，4)下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()A.ycosB.ysinC.ysin 2xcos 2xD.ysin xcos x11.AA选项：ycossin 2x，T，且关于原点对称，故选A.12.(2015陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A.5B.6C.8D.1012.C由题干图易得ymink32，则k5.ymaxk38.13.(2015新课标全国，8)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZ B.，kZC.，kZ D.，kZ13.D由图象知1，T2.由选项知D正确.14.(2015安徽，10)已知函数f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，当x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A.f(2)f(2)f(0) B.f(0)f(2)f(2) C.f(2)f(0)f(2) D.f(2)f(0)0，min，故f(x)Asin.于是f(0)A，f(2)Asin，f(2)AsinAsin，又44，其中f(2)AsinAsinAsin，f(2)AsinAsinAsin.又f(x)在单调递增，f(2)f(2)0)个单位长度，得到yg(x)的图象.若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值.25.(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因为ysin x的对称中心为(k，0)，kZ.令2x2k，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，令，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.26.(2014湖北，17)某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0,24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？26.(1)因为f(t)102102sin，又0t24，所以t11时实验室需要降温.由(1)得f(t)102sin，故有102sin11，即sin.又0t24，因此t，即10t18.故在10时至18时实验室需要降温.27.(2014上海，1)函数y12cos2(2x)的最小正周期是_.27.y12cos2(2x)12cos 4x，则最小正周期为.考点3 三角恒等变换1.(2016山东，7)函数f(x)(sin xcosx)(cosxsin x)的最小正周期是()A. B. C. D.21.B f(x)2sin xcosx(cos2xsin2x)sin 2xcos 2x2sin，T，故选B.2.(2016全国，9)若cos，则sin 2()A. B. C. D.2.D 因为sin 2cos2cos21，又因为cos，所以sin 221，故选D.3.(2016全国，8)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA()A. B. C. D.3.C 设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan A3，所以cosA.4.(2015新课标全国，2)sin 20cos 10cos 160sin 10()A. B. C. D.4.Dsin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.5.(2014新课标全国，8)设，且tan ，则()A.3 B.3 C.2 D.25.C由tan 得,即sin coscossin cos，所以sin()cos,又cossin,所以sin()sin,又因为,所以,0,因此,所以2，故选C.6.（2017江苏,5）若tan（ ）= 则tan=_6. tan（ ）= = = ,6tan6=tan+1，解得tan= ，故选7.(2016四川，11)cos2sin2 .7.由题可知，cos2sin2cos(二倍角公式).8.(2015四川，12)sin 15sin 75的值是 .8.sin 15sin 75sin 15cos 15sin(1545)sin 60.9.(2015江苏，8)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_.9.3tan 2，tan()，解得tan 3.10.(2015山东，16)设f(x)sin xcosxcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值.10.解(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ).(2)由fsin A0，得sin A，由题意知A为锐角，所以cosA.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，且当bc时等号成立.因此bcsinA.所以ABC面积的最大值为.11.(2014新课标全国，14)函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_.11.1f(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)coscos(x)sin sin(x)sin x，因为xR，所以f(x)的最大值为1.12（2017新课标，17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 (1)求sinBsinC； (2)若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长 12.（1）解：由三角形的面积公式可得SABC= acsinB= ，3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，sinA0，sinBsinC= ；（2）解：6cosBcosC=1，cosBcosC= ，cosBcosCsinBsinC= = ，cos（B+C）= ，cosA= ，0A，A= ， = = =2R= =2 ，sinBsinC= = = = ，bc=8，a2=b2+c22bccosA，b2+c2bc=9，（b+c）2=9+3cb=9+24=33，b+c= 周长a+b+c=3+ 13.（2017新课标，17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2 （）求cosB；（）若a+c=6，ABC面积为2，求b 13.（）sin（A+C）=8sin2 ，sinB=4（1cosB），sin2B+cos2B=1，16（1cosB）2+cos2B=1，（17cosB15）（cosB1）=0，cosB= ；（）由（1）可知sinB= ，SABC= acsinB=2，ac= ，b2=a2+c22accosB=a2+c22 =a2+c215=（a+c）22ac15=361715=4，b=2 14.（2017新课标，17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2（）求c；（）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积 14.（）sinA+ cosA=0，tanA= ，0A，A= ，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，即28=4+c222c（ ），即c2+2c24=0，解得c=6（舍去）或c=4，（）c2=b2+a22abcosC，16=28+422 2cosC，cosC= ，sinC= ，tanC= 在RtACD中，tanC= ，AD= ，SACD= ACAD= 2 = ，SABC= ABACsinBAD= 42 =2 ，SABD=SABCSADC=2 = .15.（2017山东,17）设函数f（x）=sin（x ）+sin（x ），其中03，已知f（ ）=0（）求；（）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在 ， 上的最小值 15. （）函数f（x）=sin（x ）+sin（x ）=sinxcos cosxsin sin（ x）= sinx cosx= sin（x ），又f（ ）= sin（ ）=0， =k，kZ，解得=6k+2，又03，=2；（）由（）知，f（x）= sin（2x ），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y= sin（x ）的图象；再将得到的图象向左平移 个单位，得到y= sin（x+ ）的图象，函数y=g（x）= sin（x ）；当x ， 时，x ， ，sin（x ） ，1，当x= 时，g（x）取得最小值是 = 16.（2017天津,17）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a=5，c=6，sinB= （）求b和sinA的值；（）求sin（2A+ ）的值 16.（）在ABC中，ab，故由sinB= ，可得cosB= 由已知及余弦定理，有 =13，b= 由正弦定理 ，得sinA= b= ，sinA= ；（）由（）及ac，得cosA= ，sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=12sin2A= 故sin（2A+ ）= = 17.（2017浙江,17）已知函数f（x）=sin2xcos2x2 sinx cosx（xR）（）求f（ ）的值（）求f（x）的最小正周期及单调递增区间 17. 函数f（x）=sin2xcos2x2 sinx cosx= sin2xcos2x=2sin（2x+ ）（）f（ ）=2sin（2 + ）=2sin =2，（）=2，故T=，即f（x）的最小正周期为，由2x+ +2k， +2k，kZ得：x +k， +k，kZ，故f（x）的单调递增区间为 +k， +k，kZ 18.(2014江西，16)已知函数f(x)sin(x)acos(x2)，其中aR，.(1)若a，时，求f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若f0，f()1，求a，的值.18.解(1)f(x)sincos(sin xcosx)sin xcosxsin xsin，因为x0，从而x，故f(x)在0，上的最大值为，最小值为1.(2)由得又知cos0，解得19.(2014广东，16)已知函数f(x)Asin，xR，且f.(1)求A的值；(2)若f()f()，求f.19.解(1)fAsin，A，A.(2)f()f()sinsin，(sin cos)(sin cos)，cos，cos，又(0，)，sin ，fsin()sin .20.(2014江苏，15)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值.20.解(1)因为a，sin ，所以cos.故sinsincoscossin.(2)由(1)知sin 22sin cos2，cos 212sin212，所以coscoscos 2sinsin 2.考点4 解三角形1.（2017山东,9）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（） A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A1. A 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a故选A2.(2014新课标全国，4)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A.5 B. C.2 D.12.BSABCABBCsin B1sin B，sin B，若B45，则由余弦定理得AC1，ABC为直角三角形，不符合题意，因此B135，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B12215，AC.故选B.3.（2017浙江,14）已知ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则BDC的面积是_，comBDC=_ 3. ； 如图，取BC得中点E，AB=AC=4，BC=2，BE= BC=1，AEBC，AE= = ，SABC= BCAE= 2 = ，BD=2，SBDC= SABC= ，BC=BD=2，BDC=BCD，ABE=2BDC,在RtABE中，cosABE= = ，cosABE=2cos2BDC1= ，cosBDC= ，故答案为， .4.(2016全国，13)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A，cos C，a1，则b .4.在ABC中由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.5.(2015福建，12)若锐角ABC的面积为10，且AB5，AC8，则BC等于_.5.7SABACsin A，sin A，在锐角三角形中A，由余弦定理得BC7.6.(2015广东，11)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_.6.1因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.7.(2015北京，12)在ABC中，a4，b5，c6，则_.7.1由余弦定理：cos A，sin A，cos C，sin C，1.8.(2015重庆，13)在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC_.8.由正弦定理得，即，解得sinADB，ADB45,从而BAD15DAC,所以C180-120-3030,AC2ABcos 30.9.(2015天津，13)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_.9.8cos A，0A，sin A，SABCbcsin Abc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222464，a8.10.(2014天津，12)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bca,2sin B3sin C，则cos A的值为_.10.由已知及正弦定理，得2b3c，因为bca，不妨设b3，c2，所以a4，所以cos A.11.(2014江苏，14)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_.11.由正弦定理可得ab2c，又cos C，当且仅当ab时取等号，所以cos C的最小值是.12.(2014新课标全国，16)已知a，b，c，分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_.12.因为a2，所以(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理可得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，又0A0)，则aksin A，bksin B，cksin C.代入中，有，变形可得sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB).在ABC中，由ABC，有sin(AB)sin(C)sin C.所以sin Asin Bsin C.(2)由已知，b2c2a2bc，根据余弦定理，有cos A.所以sin A.由(1)，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin Bcos Bsin B.故tan B4.19.(2016浙江，16)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小.19.(1)证明由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB).又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S得absin C，故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B，因sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，)，所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.20.(2016全国，17)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长.20.(1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C，2cos Csin(AB)sin C，故2sin Ccos Csin C.可得cos C，所以C.(2)由已知,absin C,又C,所以ab6,由已知及余弦定理得,a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC的周长为5.21.(2015安徽，16)在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长.21.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理，得sin B，由题设知0B，所以cos B.在ABD中，由正弦定理，得AD.22.(2015江苏，15)在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值.22.(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由正弦定理知，所以