2018年高中数学推理与证明2.2数学归纳法学案新人教A版.docx

2.2预习课本P9295，思考并完成下列问题(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？(2)数学归纳法的证题步骤是什么？1数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法2数学归纳法的框图表示点睛数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项(3)利用假设是核心在第二步证明nk1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心不用归纳假设的证明就不是数学归纳法1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可()答案：(1)(2)(3)2如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时须先证n_成立答案：23已知f(n)1(nN*)，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，由此推测，当n2时，有_答案：f(2n)用数学归纳法证明等式典例用数学归纳法证明：(nN*)证明(1)当n1时，成立(2)假设当nk(nN*)时等式成立，即有，则当nk1时，即当nk1时等式也成立由(1)(2)可得对于任意的nN*等式都成立用数学归纳法证明恒等式应注意的三点用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形活学活用求证：1(nN*)证明：(1)当n1时，左边1，右边，左边右边(2)假设nk(kN*)时等式成立，即1，则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立综合(1)，(2)可知，对一切nN*，等式成立.用数学归纳法证明不等式典例已知nN*，n2，求证：1 .证明(1)当n3时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk(kN*，k3)时，不等式成立，即1.当nk1时，1 .因为 ，所以1 .所以当nk1时，不等式也成立由(1)，(2)知对一切nN*，n2，不等式恒成立一题多变1变条件，变设问将本题中所要证明的不等式改为：(n2，nN*)，如何证明？证明：(1)当n2时，不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时，命题成立即.则当nk1时，3.所以当nk1时，不等式也成立由(1)，(2)可知，原不等式对一切n2，nN*都成立2变条件，变设问将本题中所要证明的不等式改为：(n2，nN*)，如何证明？证明：(1)当n2时，左边1，右边.左边右边，所以原不等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时不等式成立，即.则当nk1时，左边.所以，当nk1时不等式也成立由(1)和(2)可知，对一切n2，nN*不等式都成立用数学归纳法证明不等式的四个关键(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1.(2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前n个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等 归纳猜想证明典例考察下列各式2213441345681355678161357你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？解由题意得，221,34413,4568135,5678161357，猜想：(n1)(n2)(n3)2n2n135(2n1)，下面利用数学归纳法进行证明：证明：(1)当n1时，显然成立；(2)假设当nk时等式成立，即(k1)(k2)(k3)2k2k135(2k1)，那么当nk1时，(k11)(k12)(k13)2(k1)(k1)(k2)2k(2k1)22k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)2k11352(k1)1所以当nk1时等式成立根据(1)(2)可知对任意正整数等式均成立(1)“归纳猜想证明”的一般环节(2)“归纳猜想证明”的主要题型已知数列的递推公式，求通项或前n项和由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题活学活用数列an中，a11，a2，且an1(n2)，求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明解：a2，且an1(n2)，a3，a4.猜想：an(nN*)下面用数学归纳法证明猜想正确(1)当n1,2易知猜想正确(2)假设当nk(k2，kN*)时猜想正确，即ak.当nk1时，ak1nk1时猜想也正确由(1)(2)可知，猜想对任意nN*都正确层级一学业水平达标1设Sk，则Sk1为()ASkBSkCSk DSk解析：选C因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk，得Sk1.由，得Sk1Sk.故Sk1Sk.2利用数学归纳法证明不等式1n(n2，nN*)的过程中，由nk变到nk1时，左边增加了()A1项 Bk项C2k1项 D2k项解析：选D当nk时，不等式左边的最后一项为，而当nk1时，最后一项为，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项3一个与正整数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk 时命题成立可以推得nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对解析：选B由nk时命题成立可推出nk2时命题也成立，又n2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4对于不等式 n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时， 11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即 k1，则当nk1时，(k1)1，nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：选D在nk1时，没有应用nk时的归纳假设，故选D.5设f(n)5n23n11(nN*)，若f(n)能被m(mN*)整除，则m的最大值为()A2 B4C8 D16解析：选Cf(1)8，f(2)32，f(3)144818，猜想m的最大值为8.6用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2nn3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是_解析：2101 024103,2951293，n0最小应为10.答案：107用数学归纳法证明，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_解析：观察不等式中分母的变化便知答案：8对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a_.解析：当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5；当a3且n2时，31035不能被14整除，故a5.答案：59已知数列an满足a11，an12an1(nN*)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想出通项公式an，并且用数学归纳法证明解：(1)a23，a37，a415，a531.(2)归纳猜想出通项公式an2n1，当n1时，a11211，成立假设nk时成立，即ak2k1，则当nk1时，由an12an1(nN*)，得：ak12ak12(2k1)12k1212k11，所以nk1时也成立；综合，对nN*等式都成立，从而得证10用数学归纳法证明11n(nN*)证明：(1)当n1时，1，命题成立(2)假设当nk(kN*)时命题成立，即11k，则当nk1时，112k1.又1k2k(k1)，即nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有nN*都成立层级二应试能力达标1.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：选C增加一个顶点，就增加n13条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n1)f(n)1n13f(n)n1.故应选C.2设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析：选Df(n1)f(n).3设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)k1Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)kDf(k1)f(k)k2解析：选C当nk1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而nk1时交点的个数是f(k)kf(k1)4若命题A(n)(nN*)nk(kN*)时命题成立，则有nk1时命题成立现知命题对nn0(n0N*)时命题成立，则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确解析：选C由题意知nn0时命题成立能推出nn01时命题成立，由nn01时命题成立，又推出nn02时命题也成立，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定5用数学归纳法证明1aa2an1(nN*，a1)，在验证n1成立时，左边所得的项为_解析：当n1时，n12，所以左边1aa2.答案：1aa26用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程如下：当n1时，左边201，右边2111，等式成立假设nk(k1，且kN*)时，等式成立，即12222k12k1.则当nk1时，12222k12k2k11，所以当nk1时，等式也成立由知，对任意nN*，等式成立上述证明中的错误是_解析：由证明过程知，在证从nk到nk1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的答案：没有用归纳假设7平面内有n(nN*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2n2部分证明：(1)当n1时，n2n22，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立(2)假设当nk(k1，kN*)时命题成立，即k个圆把平面分成k2k2部分则当nk1时，这k1个圆中的k个圆把平面分成k2k2个部分，第k1个圆被前k个圆分成2k条弧，这2k条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k个部分，故k1个圆把平面分成k2k22k(k1)2(k1)2部分，即nk1时命题也成立综上所述，对一切nN*，命题都成立8已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前5项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明解：(1)已知a11，由题意，得a1a222，a222.a1a2a332，a3.同理，可得a4，a5.因此这个数列的前5项分别为1,4，.(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：an下面用数学归纳法证明当n2时，an.当n2时，a222，结论成立假设当nk(k2，kN*)时，结论成立，即ak.a1a2ak1(k1)2，a1a2ak1akak1(k1)2，ak1.这就是说当nk1时，结论也成立根据可知，当n2时，这个数列的通项公式是an.这个数列的通项公式为an (时间： 120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设a，b，c，则a，b，c的大小顺序是()AabcBbcaCcab Dacb解析：选Aa，b，c，又0，abc.2若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()Aac2bc2 Ba2abb2C. D.解析：选Ba2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.3若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与ab及ab中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数是()A0 B1C2 D3解析：选C由于a，b，c不全相等，则ab，bc，ca中至少有一个不为0，故正确；显然成立；令a2，b3，c5，满足ac，bc，ab，故错4已知abc0，abbcac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0时的反设为()Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca，b，c不全是正数 Dabc0解析：选Ca0，b0，c0的否定是：a，b，c不全是正数5求证：.证明：因为和都是正数，所以为了证明，只需证明()2()2，展开得525，即20，此式显然成立，所以不等式成立上述证明过程应用了()A综合法B分析法C综合法、分析法配合使用D间接证法解析：选B证明过程中的“为了证明”，“只需证明”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式6设x，y，z0，则三个数，()A都大于2 B至少有一个大于2C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2解析：选C因为x0，y0，z0，所以6，当且仅当xyz时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2.7若数列an是等比数列，则数列anan1()A一定是等比数列B一定是等差数列C可能是等比数列也可能是等差数列D一定不是等比数列解析：选C设等比数列an的公比为q，则anan1an(1q)当q1时，anan1一定是等比数列；当q1时，anan10，此时为等差数列8用数学归纳法证明“1”时，由nk的假设证明nk1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为()A.B.C.D.解析：选D当nk1时，右边应为.故D正确二、填空题(本大题共7小题，多空题6分，单空题4分，共36分请把正确答案填在题中横线上)9已知x，yR，且xy0，则lg ；(2)622.证明：(1)当a，b0时，有，lglg，lglg ab.(2)要证 22，只要证()2(22)2，即22，这是显然成立的，所以，原不等式成立17(本小题满分15分)已知a，b，c(0,1)求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于.证明：假设三式同时大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c.又(1a)a2，当且仅当a时取“”号，同理(1b)b，(1c)c.所以(1a)a(1b)b(1c)c，与式矛盾，即假设不成立，故结论正确18(本小题满分15分)等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：(1)由已知得d2.故an