2019版高考数学大复习解析几何第42讲两条直线的位置关系优选学案.docx

第42讲两条直线的位置关系考纲要求考情分析命题趋势1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.2016全国卷，52016全国卷，42015湖南卷，13确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题.分值：35分1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2！_k1k2_#；当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为！_平行_#.(2)两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行或重合的充要条件是！_A1B2A2B10_#.(3)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1l2！_k1k21_#；如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1与l2的关系为！_垂直_#.(4)两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是！_A1A2B1B20_#.2两条直线的交点3三种距离点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离！_#点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d！_#两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d！_#1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交()(2)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离()(5)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()解析(1)错误当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合(2)错误应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P到直线的距离为.(3)正确因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离(4)正确两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长，即两条直线上各取一点的最短距离(5)正确根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB，所以直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上2已知l1的倾斜角为45，l2经过点P(2，1)，Q(3，m)，若l1l2，则实数m(B)A6B6C5D5解析由已知得k11，k2.l1l2，k1k21，11，即m6.3点(0，1)到直线x2y3的距离为(B)ABC5D解析d.4点(a，b)关于直线xy10的对称点是(B)A(a1，b1)B(b1，a1)C(a，b)D(b，a)解析设对称点为(x，y)，则解得xb1，ya1.5直线l1：xy0与直线l2：2x3y10的交点在直线mx3y50上，则m的值为(D)A3B5C5D8解析由得l1与l2的交点坐标为(1,1)，所以m350，m8.一两条直线的平行与垂直问题判断两条直线平行与垂直的注意点(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论【例1】 已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，分别求出满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解析(1)由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，3a40，即a(矛盾)，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.(*)又l1过点(3，1)，3ab40.(*)由(*)(*)联立，解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b，联立，解得或a2，b2或a，b2.二两条直线的交点问题常用的直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR，且mC) (2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)(3)过直线l1：A1xB1yC1 0与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.【例2】 求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程解析解方程组得l1，l2的交点坐标为(1,2)由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1，l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1.故直线l的方程为5x3y10.三距离公式的应用利用距离公式应注意的问题(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d，到直线yb 的距离d.(2)应用两平行线间的距离公式的前提是把两直线方程中x，y的系数化为相等【例3】 已知点P(2，1)(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？解析(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时直线l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设直线l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时直线l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.四对称问题及其应用两种对称问题的处理方法(1)关于中心对称问题的处理方法若点M(x1，y1)及点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；或者求出一个对称点，再利用l1l2，由点斜式得到所求的直线方程(2)关于轴对称问题的处理方法点关于直线的对称若两点P1 (x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，则线段P1P2的中点在l上，而且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行【例4】 (1)已知直线l：x2y20.求直线l1：yx2关于直线l对称的直线l2的方程；求直线l关于点A(1,1)对称的直线方程(2)光线由点A(5，)入射到x轴上的点B(2,0)，又反射到y轴上的点M，再经y轴反射，求第二次反射线所在直线l的方程解析(1)由解得交点P(2,0)在l1上取点M(0，2)，M关于l的对称点设为N(a，b)，则解得N，kl27，又直线直l2过点P(2,0)，直线l2的方程为7xy140.直线l关于点A(1,1)对称的直线和直线l平行，所以设所求的直线方程为x2ym0.在l上取点B(0,1)，则点B(0,1)关于点A(1,1)的对称点C(2,1)必在所求的直线上，m4，即所求的直线方程为x2y40.(2)点A(5，)关于x轴的对称点A(5，)在反射光线所在的直线BM上，可知lBM：y(x2)，M.又第二次反射线的斜率kkAB，第二次反射线所在直线l的方程为yx，即xy20.1“C5”是“点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3”的(B)A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3等价于3，解得C5或C25，所以“C5”是“点(2,1)到直线3x4yC0的距离为3”的充分不必要条件故选B2(2018湖北部分重点中学期中)已知A(4，3)关于直线l的对称点为B(2,5)，则直线l的方程是(B)A3x4y70B3x4y10C4x3y70D3x4y10解析由题意得AB的中点C为(1,1)，又A，B两点连线的斜率为kAB，所以直线l的斜率为，因此直线l的方程为y1(x1)，即3x4y10.故选B3设不同直线l1：2xmy10，l2：(m1)xy10，则“m2”是“l1l2”的(C)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析当m2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立当l1l2时，显然m0，从而有m1，解得m2或m1，但当m1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立故选C4已知直线l1与直线l2：4x3y10垂直且与圆C：x2y22y3相切，则直线l1的方程是！_3x4y140或3x4y60_#.解析圆C的方程为x2(y1)24，圆心为(0，1)，半径r2.设直线l1的方程为3x4yc0，则2，解得c14或c6，即直线l1的方程为3x4y140或3x4y60.易错点对变量认识不清晰错因分析：变量转换后，不能及时将变量由原变量转换为新变量，使解题受阻【例1】 设点A(1,0)，B(2,1)，如果直线axby1与线段AB有一个公共点，那么a2b2的最小值为！_#.解析直线与线段AB有一个公共点，A，B在直线异侧或者其中一点在直线上，(a1)(2ab1)0，点(a，b)在如图阴影部分所示的平面区域内又a2b2表示点(a，b)到原点的距离的平方，a2b2的最小值为原点到直线2ab10的距离的平方，即(a2b2)min2.答案【跟踪训练1】 (2018山东临沂兰山区期中)已知点P(a，b)与点Q(1,0)在直线2x3y10的两侧，且a0，b0，则a2b的取值范围是(D)ABCD 解析由题意可知(2a3b1)(201)0，则2a3b1，所以则点(a，b)在如图阴影部分所示的平面区域内所以a2b在点A处取得最大值，在点B处取得最小值，因为点A和点B不在点(a，b)可取的范围内，所以的取值范围为.故选D课时达标第42讲解密考纲对直线方程与两条直线的位置关系的考查，常以选择题或填空题的形式出现一、选择题1若直线ax2y10与直线xy20互相垂直，那么a的值等于(D)A1BCD2解析由a1210，得a2.故选D2已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行，则m的值为(B)A0B8C2D10解析kAB2，则m8.3直线2xy10关于直线x1对称的直线方程是(C)Ax2y10B2xy10C2xy50Dx2y50解析由题意可知，直线2xy10与直线x1的交点为(1,3)，直线2xy10的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数直线2xy10的斜率为2，故所求直线的斜率为2，所以所求直线方程是y32(x1)，即2xy50.4“m1”是“直线xy0和直线xmy0互相垂直” 的(C)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析因为m1时，两直线方程分别是xy0和xy0，两直线的斜率分别是1和1，所以两直线垂直，所以充分性成立；当直线xy0和直线xmy0互相垂直时，有11(1)m0，所以m1，所以必要性成立故选C5若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(A)A3B2C3D4解析由题意知AB的中点M在到直线l1：xy70和l2：xy50距离都相等的直线上，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点M所在直线的方程为l：xym0，根据平行线间的距离公式，得，所以|m7|m5|，解得m6，故l：xy60.根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为3.6将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn(C)A4B6CD解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的垂直平分线，于是解得故mn.二、填空题7经过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线的方程是！_2xy40_#.解析y6x4，y|x12，所求直线方程为y22(x1)，即2xy40.8过点(1,1)的直线被圆x2y22x4y110截得的弦长为4，则该直线的方程为！_x1或3x4y10_#.解析圆x2y22x4y110，即(x1)2(y2)216，则圆心为点M(1,2)，半径r4.由条件知，点(1,1)在圆内，设过点N(1,1)的直线为l.当l的斜率k不存在时，l：x1，则交点A(1,22)，B(1，22)，满足|AB|4.当l的斜率k存在时，设l：y1k(x1)，即kxyk10，则圆心M(1,2)到直线l的距离d，则d2(2)216，即d216124，解得k.此时，y1(x1)，即3x4y10.综上所述，直线l的方程为x1或3x4y10.9已知定点A(1,1)，B(3,3)，动点P在x轴上，则|PA|PB|的最小值是！2#.解析点A(1,1)关于x轴的对称点为C(1，1)，则|PA|PC|，设BC与x轴的交点为M，则|MA|MB|MC|MB|BC|2.由三角形两边之和大于第三边知，当P不与M重合时，|PA|PB|PC|PB|BC|，故当P与M重合时，|PA|PB|取得最小值三、解答题10正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解析点C