2018版高中数学第1章解三角形1.2第2课时角度问题学案新人教B版.docx

第2课时角度问题1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解角度问题.(重点)2.会将实际问题转化为解三角形问题.(难点)3.能根据题意画出几何图形.(易错点)基础初探教材整理方位角与方向角阅读教材P14问题4，完成下列问题.1.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为(如图1217所示).图1217方位角的取值范围：0360.2.方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角，如南偏西60，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60.1.下列说法中正确的个数为()(1)若P在Q的北偏东44，则Q在P的东偏北44方向；(2)如图1218所示，该角可以说成北偏东110；图1218(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是；(4)若点A在点C的北偏东30方向，点B在点C的南偏东60方向，且ACBC，则点A在点B北偏西15方向.A.1B.2C.3D.4【解析】(1)错误.因若P在Q的北偏东44，则Q应在P的南偏西44.(2)错误.因本图所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110.(3)错误.因为方向角的范围为090，而方位角的范围为0360.(4)正确.【答案】A2.某次测量中，A在B的南偏东3427，B在A的()A.北偏西3427B.北偏东5533C.北偏西5533D.南偏西5533【解析】如图所示.【答案】A3.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()A.a kmB.a kmC.a kmD.2a km【解析】如图，可知ACB120，ACBCa.在ABC中，过点C作CDAB，则AB2AD2asin 60a.【答案】B4.某人从A处出发，沿北偏东60行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为_km.【解析】如图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150.由余弦定理得AC2274232cos 15049，AC7.所以A，C两地的距离为7 km.【答案】7小组合作型角度问题(1)如图1219，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()图1219A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东80D.南偏西80(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是()A.，60B.，60C.，30D.，30【精彩点拨】(1)两座灯塔A、B与观察站C的距离相等，说明A与B有何大小关系？灯塔B在观察站南偏东60，说明CBD是多少度？(2)本小题关键是理解坡比与坡角的意义.【自主解答】(1)由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔A在灯塔B南偏西80.(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB10 m，CD6 m，高DE2 m，则AE2 m，tan DAE，DAE60.【答案】(1)D(2)B测量角度问题画示意图的基本步骤：再练一题1.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_，大小为_km/h. 【导学号：18082009】【解析】AOB60，由余弦定理知OC2202202800cos 1201 200，故OC20，COY303060.【答案】6020求航向的角度某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.【精彩点拨】本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形.【自主解答】如图所示，根据题意可知AC10，ACB120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB21t，BC9t，在ABC中，根据余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以212t210281t22109t，即360t290t1000，解得t或t(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时AB14，BC6.在ABC中，根据正弦定理得，所以sinCAB，即CAB21.8或CAB158.2(舍去).即舰艇航行的方位角为4521.866.8.所以舰艇以66.8的方位角航行，需 h才能靠近渔轮.1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角.因为余弦函数在(0，)上是单调递减的，而正弦函数在(0，)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角.但角在上时，用正、余弦定理皆可.再练一题2.某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60相距20(1) n mile的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile，正以每小时10 n mile的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且1 h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.【解】如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD20，AC20.由题意AB20(1)，DC20，BC(1)10.在ADC中，DC2AD2AC2，DAC90，ADC45.在ABC中，由余弦定理得cosBAC.BAC30，又B位于A南偏东60，603090180，D位于A的正北方向，又ADC45，台风移动的方向为向量的方向.即北偏西45方向.答：台风向北偏西45方向移动.探究共研型求解速度问题探究1某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50，距离是4 km，从B到C，方位角是80，距离是8 km，从C到D，方位角是150，距离是6 km，试画出示意图.【提示】如图所示：探究2在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？【提示】如探究1图，在ABC中，ABC50(18080)150，由余弦定理得AC4，则此人的最小速度为v8(km/h).探究3在探究1中若投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？【提示】投递员到达C点的时间为t1(小时)30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2(小时)15分钟；由于301510，所以此人在C点能与投递员相遇.如图1220所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？图1220【精彩点拨】根据已知图形构造三角形.利用余弦定理建立速度与时间的函数求解.【自主解答】作MI垂直公路所在直线于点I，则MI3，OM5，OI4，cosMOI.设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，由余弦定理得(vt)252(50t)22550t，即v22 500252900900，当t时，v取得最小值为30，其行驶距离为vt公里.故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里.解决实际问题应注意的问题：(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题再练一题3.如图1221，在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？ 【导学号：18082010】图1221【解】设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206，BC，且sinABCsinBAC .ABC45.BC与正北方向垂直.CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30.即缉私船沿东偏北60方向能最快追上走私船.1.已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西10【解析】如图，因ABC为等腰三角形，所以CBA(18080)50，605010，故答案为B.【答案】B2.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m【解析】设水柱高度是h m，水柱底端为C(图略)，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.【答案】A3.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20，灯塔B在观测站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为_km. 【导学号：18082011】【解析】ACB120，ACBCa，由余弦定理，得AB2a2a22aacos 1203a2，ABa.【答案】a4.一轮船从A点沿北偏东70的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿_方向行驶_海里至海岛C.【解析】在ABC中，ABC11010120.又ABBC，故CABACB30，AC10.故此船沿着北偏东703040方向行驶了10海里到达海岛C.【答案】北偏东401