2019版高考数学复习解析几何第52讲抛物线学案.docx

第52讲抛物线考纲要求考情分析命题趋势1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景3理解数形结合思想.2017全国卷，102017全国卷，162017北京卷，182016浙江卷，91.求解与抛物线定义有关的问题，利用抛物线的定义求轨迹方程，求抛物线的标准方程2求抛物线的焦点和准线，求解与抛物线焦点有关的问题(如焦点弦、焦半径等问题).分值：5分1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)_距离相等_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的_焦点_，直线l叫做抛物线的_准线_2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O_(0,0)_对称轴_y0_x0_焦点FFFF离心率e_1_准线_x_x_y_y_范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)_x0_x0_y0_y0_3必会结论抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)(3)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()解析 (1)错误当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线；(2)错误方程yax2(a0)可化为x2y是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y；(3)错误抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形2抛物线y2x2的准线方程是(D)AxBxCyDy解析 抛物线方程为x2y，p，准线方程为y.3抛物线y224ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为(A)Ay28xBy212xCy216xDy220x解析 准线方程为l：x6a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则36a5，a，抛物线方程为y28x.4若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(D)A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析 由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点、以直线x2为准线的抛物线5在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y22px(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_x_.解析 线段OA的中垂线方程为4x2y50，令y0得x，焦点F，准线方程为x.一抛物线的定义及应用抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决【例1】 (1)已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(D)ABC1D2(2)(2017全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为(A)A16B14C12D10解析 (1)由题意知，抛物线的准线l：y1，过点A作AA1l垂足为点A1，过点B作BB1l垂足为点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1l交l于点M1，则|MM1|.因为|AB|AF|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，所以|AA1|BB1|6,2|MM1|6，|MM1|3.故点M到x轴的距离d2.(2)抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l1：yk(x1)，l2：y(x1)，由消去y得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x22，由抛物线的定义可知，|AB|x1x22224.同理得|DE|44k2，|AB|DE|444k2848816，当且仅当k2，即k1时取等号，故|AB|DE|的最小值为16，故选A二抛物线的标准方程及其几何性质(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性【例2】 (1)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p(C)A1BC2D3(2)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_6_.解析 (1)因为双曲线的离心率e2，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为yx，与抛物线的准线x相交于点A，点B，所以AOB的面积为p，又p0，所以p2.(2)在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B.又因为点B在双曲线上，故1，解得p6.三直线与抛物线的位置关系及弦长问题(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式x1x2p；若不过焦点，则必须用弦长公式【例3】 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且8.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l为抛物线C的切线，且lMN，点P为l上一点，求的最小值解析 (1)由题意可知F，则该直线方程为yx，代入y22px(p0)，得x23px0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，8，x1x2p8，即3pp8，解得p2，抛物线的方程为y24x.(2)设直线l的方程为yxb，代入y24x，得x2(2b4)xb20.直线l为抛物线C的切线，16(1b)0，解得b1，直线l的方程为yx1.由(1)可知：x1x26，x1x21，设P(m，m1)，则(x1m，y1(m1)，(x2m，y2(m1)，(x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2.x1x26，x1x21，(y1y2)216x1x216，y1y24.yy4(x1x2)，y1y244.16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714.当且仅当m2时，即点P的坐标为(2,3)时，取最小值为14.1若动圆的圆心在抛物线yx2上，且与直线y30相切，则此圆恒过定点(C)A(0,2)B(0，3)C(0,3)D(0,6)解析 直线y30是抛物线x212y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)2已知点P是抛物线x24y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则的最小值为(C)A7B8C9D10解析 抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y1，根据抛物线的定义知，1.11111019，当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则的最小值为9.3已知点F1，F2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，点P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若12，则抛物线的准线方程为_x2_.解析 将双曲线方程化为标准方程得1，抛物线的准线为x2a，联立解得x3a，即点P的横坐标为3a.而由，得6a，3a2a6a，得a1，抛物线的准线方程为x2.4(2017北京卷)已知抛物线C：y22px过点P(1,1)过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解析 (1)由抛物线C：y22px过点P(1,1)，得p.所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为.准线方程为x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x2(4k4)x10.则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10，所以y12x1.故A为线段BM的中点易错点对直线与抛物线的公共点认识不清错因分析：只考虑直线斜率k存在的情况而忽略k不存在以及直线l平行于抛物线对称轴时的两种情形【例1】 过点(0,3)的直线l与抛物线y24x只有一个公共点，求直线l的方程解析 当斜率k存在且k0时，设直线l的方程为ykx3，将其代入y24x，整理得k2x2(6k4)x90，则由0解得k；当k0时，直线l的方程为y3，此时l平行于对称轴，且与抛物线只有一个交点；当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点，此时l的方程为x0.综上，过点(0,3)且与抛物线y24x只有一个公共点的直线l的方程为yx3；y3；x0.【跟踪训练1】 设抛物线C：y22px(p0)，过点M(p,0)作直线l.证明：l与C至少有一个交点证明 (1)当直线与y轴不垂直时，设l：xmyp，联立C与l的方程，得则y22pmy2p20.(2pm)242p24p2(m22)0恒成立故此时C与l有2个交点(2)当直线l与y轴垂直时，l：x0，C与l有一个交点(0,0)综上(1)，(2)知，C与l至少有一个交点课时达标第52讲解密考纲对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查是常数，通常在选择题、填空题中单独考查或在解答题中与圆锥曲线综合考查一、选择题1(2018宁夏银川九中月考)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为(B)Ay28xBy28xCy24xDy24x解析 设抛物线方程为y22px(p0)，则(3)5，p4，抛物线方程为y28x.故选B2(2018江西九江第一次统考)已知抛物线的方程为y22px(p0)，过抛物线上一点M(p，p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|FM|(C)A1B1C12D13解析 由题意知直线l的方程为y2，联立方程得N.所以|NF|p，|MF|pp，所以|NF|FM|12，故选C3已知抛物线C：y24x，顶点为O，动直线l：yk(x1)与抛物线C交于A，B两点，则(A)A5B5C4D4解析 设A，B，由已知得直线l过定点E(1,0)，因为E，A，B三点共线，所以y2y1，即(y1y2)y1y2，因为y1y2，所以y1y24，所以y1y25.4(2018吉林长春一模)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为120的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则(A)ABCD解析 设抛物线的准线为l：x，|FB|m，|FA|n，过A，B两点向准线l作垂线AC，BD，由抛物线定义知|AC|FA|n，|BD|FB|m，过B作BEAC，E为垂足，则|AE|CE|AC|BD|AC|mn，|AB|FA|FB|nm.在RtABE中，BAE60，cos 60，即m3n.故.5已知点A(2,1)，抛物线y24x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|PF|最小，则点P的坐标为(D)A(2,1)B(1,1)CD解析 由抛物线定义知，|PF|等于P到准线x1的距离，当PA与准线垂直时|PA|PF|最小，P点的纵坐标为1，代入方程得x.6已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(D)ABC1D2解析 由题意知，抛物线的准线l：y1，过点A作AA1l于点A1，过点B作BB1l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1l于点M1，则|MM1|.因为6|AB|AF|BF|，所以|AA1|BB1|6,2|MM1|6，|MM1|3，故点M到x轴的距离d2，故选D二、填空题7(2018福建福州质检)过抛物线y22px(p0)的焦点作倾斜角为30的直线l与抛物线交于P，Q两点，分别过P，Q两点作PP1，QQ1垂直于抛物线的准线于P1，Q1，若|PQ|2，则四边形PP1Q1Q的面积是_1_.解析 由题意得四边形PP1Q1Q为直角梯形，|PP1|QQ1|PQ|2，|P1Q1|PQ|sin 301，S|P1Q1|1.8如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_2_米解析 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)由题意将点A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.设B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面宽为2米9(2017全国卷)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_6_.解析 依题意，抛物线C：y28x的焦点F(2,0)，准线x2，因为点N在y轴上，M为FN的中点，所以点M的横坐标为1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.三、解答题10已知抛物线y24px(p0)的焦点为F，圆W：(xp)2y2p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.(1)求直线l的斜率；(2)若直线l与抛物线交于A，B两点，WAB的面积为8，求抛物线的方程解析 (1)易知抛物线y24px(p0)的焦点为F(p,0)，依题意设直线l的方程为xmyp，因为W(p,0)，所以点W到直线l的距离为p，解得m，所以直线l的斜率为.(2)由(1)知直线l的方程为xyp，由于两条直线关于x轴对称，不妨取xyp，代入y24px中，得y24py4p20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24p，y1y24p2，所以|AB|16p，因为WAB的面积为8，所以p16p8，得p1，所以抛物线的方程为y24x.11已知抛物线y22px(p0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程解析 (1)设l：xmy2，代入y22px中，得y22p