2018版高中数学第三章直线与方程3.23.2.1直线的点斜式方程学案新人教A版.docx

3.2.1直线的点斜式方程目标定位1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义.3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.自 主 预 习1.直线的点斜式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0，y0)和斜率kyy0k(xx0)斜率存在的直线2.直线l在坐标轴上的截距(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.(2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a.3.直线的斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距bykxb斜率存在的直线即 时 自 测1.判断题(1)经过点P(x0，y0)的直线，都可以用yy0k(xx0)来表示.()(2)经过A(0，b)的直线都可以用方程ykxb表示.()(3)直线的点斜式方程yy0k(xx0)可以表示不与x轴垂直的直线.()(4)直线l在y轴上的截距b一定是正数.()提示(1)经过点P(x0，y0)垂直于x轴的直线方程为xx0.(2)当直线与x轴垂直时，直线不能用斜截式表示，其方程可表示为x0.(4)直线l在y轴上的截距b实际上是直线l与y轴交点的纵坐标，因此b可以是正数，也可以是负数，还可以是0.2.已知直线的方程是y2x1，则()A.直线经过点(1，2)，斜率为1B.直线经过点(2，1)，斜率为1C.直线经过点(1，2)，斜率为1D.直线经过点(2，1)，斜率为1解析方程可变形为y2(x1)，直线过点(1，2)，斜率为1.答案C3.直线经过点P(2，3)，且倾斜角45，则它的点斜式方程为()A.yx1 B.y3x2C.yx1 D.y3x2解析直线的倾斜角为45，则它的斜率ktan 451，所以由点斜式方程，得y(3)1(x2)，即y3x2.答案B4.已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为3，则直线l的斜截式方程为_.解析由斜截式方程，得y2x3.答案y2x3类型一直线的点斜式方程(互动探究)【例1】 求满足下列条件的直线的点斜式方程.(1)过点P(4，3)，斜率k3；(2)过点P(3，4)，且与x轴平行；(3)过P(2，3)，Q(5，4)两点.思路探究探究点一直线的点斜式方程的适用条件是什么？提示点P(x0，y0)和斜率k.探究点二求直线的点斜式方程的方法步骤是什么？提示在直线的斜率存在时，先确定所过定点，再确定直线的斜率，然后代入公式.解(1)直线过点P(4，3)，斜率k3，由直线方程的点斜式得直线方程为y33(x4)，(2)与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y(4)0(x3)，即y40.(3)过点P(2，3)，Q(5，4)的直线的斜率kPQ1.又直线过点P(2，3).直线的点斜式方程为y3(x2).规律方法(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)定斜率k写出方程yy0k(xx0).(2)点斜式方程yy0k(xx0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但xx0除外.【训练1】 (1)过点(1，2)，且倾斜角为135的直线方程为_.(2)已知直线l过点A(2，1)且与直线y14x3垂直，则直线l的方程为_.解析(1)ktan 1351，由直线的点斜式方程得y2(x1)，即xy10.(2)方程y14x3可化为y14，由点斜式方程知其斜率k4.又因为l与直线y14x3垂直，所以直线l的斜率为.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y1(x2)，即x4y60.答案(1)xy10(2)x4y60类型二直线的斜截式方程【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y2x5.(2)倾斜角150，斜率ktan 150.由斜截式可得方程为yx2.(3)直线的倾斜角为60，其斜率ktan 60，直线与y轴的交点到原点的距离为3，直线在y轴上的截距b3或b3.所求直线方程为yx3或yx3.规律方法1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“yx3”.2.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零.【训练2】 写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是3；(2)倾斜角是60，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是30，在y轴上的截距是0.解(1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y3x3.(2)由题意可知，直线的斜率ktan 60，所求直线的方程为yx5.(3)由题意可知所求直线的斜率ktan 30，由直线方程的斜截式可知，直线方程为yx.类型三直线过定点问题【例3】 求证：不论m为何值时，直线l：y(m1)x2m1总过第二象限.证明法一直线l的方程可化为y3(m1)(x2)，直线l过定点(2，3)，由于点(2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限.法二直线l的方程可化为m(x2)(xy1)0.令解得无论m取何值，直线l总经过点(2，3).点(2，3)在第二象限，直线l总过第二象限.规律方法本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想.【训练3】 已知直线l：5ax5ya30.求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限.证明法一由已知，得直线l的点斜式方程为ya.故直线l的斜率为a，且过定点，而该点在第一象限，因而结论成立.法二直线l的方程可化为(5x1)a(5y3)0.上式对任意的a总成立，必有即即直线l过定点，而该点在第一象限，结论成立.课堂小结1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为yy1k(xx1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线ybk(x0)，即ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如yc是直线的斜截式方程，而2y3x4不是直线的斜截式方程.1.直线y2(x1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A.60，2 B.120，2C.60，2 D.120，2解析该直线的斜率为，当x0时，y2，其倾斜角为120，在y轴上的截距为2.答案B2.直线ykxb通过第一、三、四象限，则有()A.k0，b0 B.k0，b0C.k0，b0 D.k0，b0解析直线经过一、三、四象限，图形如图所示，由图知，k0，b0.答案B3.已知直线l的倾斜角是直线yx1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l的方程为_.解析直线yx1的斜率为1，所以倾斜角为45，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90，其斜率不存在.又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x3.答案x34.直线l经过点P(3，4)，它的倾斜角是直线yx的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程和斜截式方程.解直线yx的斜率k，其倾斜角为60，直线l的倾斜角为602120，直线l的斜率ktan 120，又直线l过点P(3，4)，直线l的点斜式方程为y4(x3)，化为斜截式方程为yx43基 础 过 关1.直线的点斜式方程yy0k(xx0)可以表示()A.任何一条直线 B.不过原点的直线C.不与坐标轴垂直的直线 D.不与x轴垂直的直线解析点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线.答案D2.经过点(1，1)，斜率是直线yx2的斜率的2倍的直线方程是()A.x1 B.y1C.y1(x1) D.y12(x1)解析由方程知，已知直线的斜率为，所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为y1(x1)，选C.答案C3.与直线y2x1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是()A.yx4 B.y2x4C.y2x4 D.yx4解析直线y2x1的斜率为2，与其垂直的直线的斜率是，直线的斜截式方程为yx4，故选D.答案D4.已知直线l的倾斜角为60，在y轴上的截距为6，则直线l的斜截式方程为_.解析因为直线l的倾斜角为60，故其斜率为，由斜截式方程，得yx6.答案yx65.过点(1，2)且与直线y2x垂直的点斜式方程是_.解析设所求直线的斜率为k，则2k1，k.直线的点斜式方程为y2(x1).答案y2(x1)6.根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)写出斜率为1，在y轴上截距为2的直线方程的斜截式；(2)求过点A(6，4)，斜率为的直线方程的斜截式.解(1)易知所求直线的斜率k1，在y轴上的截距b2，由直线方程的斜截式知，所求直线方程为yx2.(2)所求直线的斜率k，且过点A(6，4)，根据直线方程的点斜式得直线方程为y4(x6)，化为斜截式为yx4.7.已知ABC的三个顶点坐标分别是A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，求BC边上的高所在的直线方程.解设BC边上的高为AD，则BCAD，kADkBC1，kAD1，解得kAD.BC边上的高所在的直线方程为y0(x5)，即yx3.能 力 提 升8.过点(1，0)且与直线x2y20平行的直线方程是()A.x2y10 B.x2y10C.2xy20 D.x2y10解析直线x2y20的斜率为，又所求直线过点(1，0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y(x1)，即x2y10.答案A9.方程yax表示的直线可能是图中的()解析直线yax的斜率是a，在y轴上的截距.当a0时，斜率a0，在y轴上的截距0，则直线yax过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a0时，斜率a0，在y轴上的截距0，则直线yax过第二、三、四象限，仅有选项B符合.故正确答案为B.答案B10.已知直线yxk与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是_.解析令y0，则x2k.令x0，则yk，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S|k|2k|k2.由题意知，三角形的面积不小于1，可得k21，所以k的范围是k1或k1.答案k1或k111.已知位于第一象限的ABC中，A(1，1)，B(5，1)，A60，B45.求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程.解如图，(1)A(1，1)，B(5，1)，直线AB与x轴平行.直线AB的斜率为0，从而该直线的方程为y10.(2)A60，kAC，AC边所在直线方程为y1(x1)，即xy10.又B45，直线BC