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高中数学 第三章 导数及其应用 3_3_2 极大值与极小值课件 苏教版选修1-1

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3.3.2 极大值与极小值,第3章 §3.3 导数在研究函数中的应用,,1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极 值与导数的关系,并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.,学习目标,,题型探究,,问题导学,内容索引,,当堂训练,,问题导学,,知识点一 函数极值的概念,思考1 函数在x=a处的函数值与附近的函数值有什么大小关系?,函数y=f(x)的图象如图所示.,,答案,函数在x=a处的函数值比它在x=a附近的其他点的函数值都小.,思考2 f′(a)为多少?在x=a附近,函数的导数的符号有什么规律?,,答案,f′(a)=0,在x=a的左侧f′(x)0.,思考3 函数在x=b处的情况呢?,,答案,函数在x=b处的函数值f(b)比它在x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,且在x=b的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0.,梳理 (1)极小值点与极小值 函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a)比它在x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在x=a的左侧f′(x)0.则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b)比它在x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在x=b的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0.则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 、 统称为极值点, 和 统称为极值.,极大值点,极小值点,极大值,极小值,,知识点二 求函数y=f(x)极值的方法,解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时, (1)如果在x0的左侧f′(x) 0,右侧f′(x) 0,那么f(x0)是极大值. (2)如果在x0的左侧f′(x) 0,右侧f′(x) 0,那么f(x0)是极小值.,,,,,,题型探究,,类型一 求函数的极值和极值点,例1 求下列函数的极值: (1)f(x)=2x3+3x2-12x+1;,解答,,函数f(x)=2x3+3x2-12x+1的定义域为R, f′(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1), 解方程6(x+2)(x-1)=0,得x1=-2,x2=1. 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:,所以当x=-2时,f(x)取极大值21;当x=1时,f(x)取极小值-6.,解答,,令f′(x)=0,得x=1. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:,因此当x=1时,f(x)有极小值3,无极大值.,求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域,求导数f′(x); (2)求f(x)的拐点,即求方程f′(x)=0的根; (3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 特别提醒 在判断f′(x)的符号时,借助图象也可判断f′(x)各因式的符号,还可用特殊值法判断.,反思与感悟,,,跟踪训练1 已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为y=4x+4. (1)求a,b的值;,f′(x)=ex(ax+b)+aex-2x-4 =ex(ax+a+b)-2x-4, f′(0)=a+b-4=4, ① 又f(0)=b=4, ② 由①②可得a=b=4.,解答,(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.,解答,,f(x)=ex(4x+4)-x2-4x, f′(x)=ex(4x+8)-2x-4=4ex(x+2)-2(x+2) =(x+2)(4ex-2). 解f′(x)=0,得x1=-2,x2=-ln 2, 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:,,f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增, 在(-2,-ln 2)上单调递减. 当x=-2时,函数f(x)取得极大值, 极大值为f(-2)=4(1-e-2).,,类型二 已知函数极值求参数,例2 (1)已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,则a=__,b=___.,2,9,答案,解析,,∵f′(x)=3x2+6ax+b,且函数f(x)在x=-1处有极值0.,当a=1,b=3时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,此时函数f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去. 当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3). 当x∈(-∞,-3)时,f′(x)0,此时f(x)为增函数; 当x∈(-3,-1)时,f′(x)0,此时f(x)为增函数. 故f(x)在x=-1处取得极小值,∴a=2,b=9.,(2)若函数f(x)= x3-x2+ax-1有极值点,则a的取值范围为_________.,,∵f′(x)=x2-2x+a, 由题意得方程x2-2x+a=0有两个不同的实数根, ∴Δ=4-4a0,解得a1.,(-∞,1),答案,解析,引申探究 1.若本例(2)中函数的极大值点是-1,求a的值.,,解答,f′(x)=x2-2x+a, 由题意得f′(-1)=1+2+a=0, 解得a=-3,则f′(x)=x2-2x-3,经验证可知,f(x)在x=-1处取得极大值.,2.若例(2)中函数f(x)有两个极值点,均为正值,求a的取值范围.,,解答,由题意得方程x2-2x+a=0有两不等正根,设为x1,x2,,故a的取值范围是(0,1).,反思与感悟,已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式时,应注意以下两点: (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.,跟踪训练2 设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值;,,解答,因为f(x)=aln x+bx2+x,,(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.,,解答,当x∈(0,1)时,f′(x)0; 当x∈(2,+∞)时,f′(x)0.,所以x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点.,,类型三 函数极值的综合应用,解答,例3 设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值;,,f′(x)=3x2-6,令f′(x)=0,,,解答,(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围.,由(1)的分析知,y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.,直线y=a与y=f(x)的图象有三个不同的交点,即方程f(x)=a有三个不同的实根.,反思与感悟,用求导的方法确定方程根的个数,是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况,运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数,从而判断方程根的个数.,解答,,由f(x)=x3-6x2+9x+3, 可得f′(x)=3x2-12x+9,,=x2+x+3+m, 由题意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根,即g(x)=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点. ∵g′(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),,,当x变化时,g(x),g′(x)的变化情况如下表:,,,当堂训练,1,2,3,4,5,,由导数与函数极值的关系知,当f′(x0)=0时,若在x0的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,则f(x)在x=x0处取得极小值.设函数f′(x)的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f(x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值.,2,1.已知函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)有______个极大值点,________个极小值点.,答案,解析,2,1,2,3,4,5,f′(x)=3x2ex+x3ex=x2ex(3+x), 当x∈(-∞,-3)时,f′(x)0, 当x∈(-3,+∞)时,f′(x)≥0, ∴x0=-3是f(x)的极值点.,2.函数f(x)=x3ex的极值点x0=________.,答案,解析,-3,1,2,3,4,5,,3.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为______________________.,f′(x)=3x2+2ax+a+6, 因为f(x)既有极大值又有极小值, 那么Δ=(2a)2-4×3×(a+6)0, 解得a6或a-3.,答案,解析,(-∞,-3)∪(6,+∞),,1,2,3,4,5,4.设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,则实数a的值为_____.,9,f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a.,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,-1,3,1,2,3,4,5,,若b=1,c=-1, 则f′(x)=-x2+2x-1=-(x-1)2≤0,此时f(x)没有极值; 若b=-1,c=3,则f′(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1), 当-3<x<1时,f′(x)>0,当x>1时,f′(x)<0.,规律与方法,1.在极值的定义中,取得极值的点称为极值点,极值点指的是自变量的值,极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x=x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0且在x=x0两侧f′(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值,解决一些方程的解和图象的交点问题.,本课结束,
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本文标题:高中数学 第三章 导数及其应用 3_3_2 极大值与极小值课件 苏教版选修1-1
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