北京市朝阳区2019届高三数学第一次（3月）综合练习（一模）试题理.docx

北京市朝阳区2019届高三数学第一次（3月）综合练习（一模）试题 理本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合，集合，则A B C D2在复平面内，复数对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3的展开式中的常数项为 A B C D 4若函数 则函数的值域是A B C D5如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是 ABCD6记不等式组所表示的平面区域为“点”是“”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为 ABCD8某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A5 B6 C7 D8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在答题卡上 9双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是 10执行如图所示的程序框图，则输出的值为 11在极坐标系中，直线与圆相交于两点，则_ 12能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线若，则在内无零点”为假命题的一个函数是 13天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是_；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是 14在平面内，点是定点，动点满足，则集合所表示的区域的面积是 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）在中，的面积等于，且（）求的值；（）求的值16（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）将统计数据按分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立（）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为；从乙站的乘客中随机抽取1人，记为.用频率估计概率，求“乘客,乘车等待时间都小于20分钟”的概率；（）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望.17（本小题满分14分）如图，在多面体中，平面平面四边形为正方形，四边形为梯形，且，（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）线段上是否存在点，使得直线平面? 若存在，求的值；若不存在，请说明理由18（本小题满分13分）已知函数 且.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求证：；（）讨论函数的极值19（本小题满分14分）已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点（）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；（）求证：直线与椭圆相切；（）判断是否为定值，并说明理由20（本小题满分13分）在无穷数列中，是给定的正整数，（）若，写出的值；（）证明：数列中存在值为的项；（）证明：若互质，则数列中必有无穷多项为北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学（理）答案 20193一、选择题：（本题满分40分）题号12345678答案BDCAACDB二、填空题：（本题满分30分）题号91011121314答案（答案不唯一）2433402三、解答题：（本题满分80分）15 (本小题满分13分)解：（）由已知得整理得解得或因为，所以.8分（）由正弦定理，即所以 .13分16(本小题满分13分)解：（）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间都小于20分钟” 由题意知，乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，故的估计值为又.故事件的概率为.6分（）由（）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为，所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为.显然，的可能取值为且. 所以； ；.故随机变量的分布列为 .13分17(本小题满分14分)解：（）证明：因为为正方形，所以又因为平面平面，且平面平面，所以平面所以4分（）由（）可知，平面，所以， 因为，所以两两垂直分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）因为，所以，所以设平面的一个法向量为，则 即 令，则，所以设直线与平面所成角为，则.9分（）设，设，则，所以，所以，所以设平面的一个法向量为，则 因为，所以 令，则，所以在线段上存在点，使得平面等价于存在，使得因为，由，所以，解得，所以线段上存在点，使得平面，且.14分18 (本小题满分13分)解：（）当时，所以因为，所以曲线在处的切线方程为.3分（）当时， 函数的定义域为 不等式成立成立成立.设，则当变化时，变化情况如下表：极大值所以因为，所以，所以.8分（）求导得. 令，因为可得当时，的定义域为.当变化时，变化情况如下表：极大值此时有极大值，无极小值当时，的定义域为，当变化时，变化情况如下表：极小值此时有极小值，无极大值.13分19 (本小题满分14分)解：（）由题意， 所以离心率，左焦点.4分（）当时直线方程为或，直线与椭圆相切当时，由得，由题知，即，所以 =故直线与椭圆相切.8分（）设，当时， 所以，即当时，由 得，则，因为 所以，即故为定值 .14分20 (本小题满分13分)解：(I).3分(II)反证法：假设,由于，记.则.则，,，依次递推，有，则由数学归纳法易得当时，与矛盾.故存在，使所以，数列必在有限项后出现值为的项.8分(III)首先证明：数列中必有“1”项用反证法，假设数列中没有“1”项，由(II)知，数列中必有“0”项，设第一个“0”项是 ，令，则必有，于是，由，则，因此是的因数，由，则或，因此是的因数.依次递推，可得是的因数，因为，所以这与互质矛盾所以，数列中必有“1”项其次证明数列中必有无穷多项为“1