统计量及其抽样分布.ppt

第 6 章 统计量及其抽样分布,6.1 统计量 6.2 抽样分布的概念和几个重要分布 6.3 样本均值的分布与中心极限定理 6.4 样本比例的抽样分布 6.5 两个样本均值之差的分布 6.6 样本方差的分布,学习目标,理解统计量的概念 理解抽样分布的意义 了解几个重要分布的概念和性质 掌握中心极限定理及其应用 掌握样本均值、 样本比例和样本方差的抽样分布. 掌握两个样本均值之差、两个样本方差之比的抽样分布.,6.1 统计量,一、统计量的概念 设X1,X2, ,Xn是从总体X中抽取的容量为 n的一个样本,如果由此样本构造一个函数 T(X1,X2, ,Xn),不依赖于任何未知参数,则称 函数T(X1,X2, ,Xn)是一个统计量. 当获得样本的一组具体观测值x1,x2, , xn 时,代入T,计算出T(x1,x2, , xn)的数值,就获 得一个具体的统计值.,常用统计量,1.样本均值:反映出总体数学期望的信息 2.样本方差和样本标准差:反映总体方差和标准差的信息. 3.样本变异系数:V=S/X,反映总体离散系数的信息. 4.样本偏度 5.样本峰度,6.2 抽样分布,一、抽样分布的概念 二、 2分布 三、t分布 四、 F,抽样分布的概念,样本统计量的概率分布，是一种理论分布 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布 随机变量是 样本统计量 样本均值, 样本比例，样本方差等 结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,抽样分布 (sampling distribution),抽样分布的形成过程 (sampling distribution),2分布,设X1，X2，Xn是n个相互独立，且服从标准正态分布N（0，1）的随机变量，则随机变量 的分布叫做自由度为n的2分布.,2分布,2分布 的特点: 2分布的变量值始终为正 2 (n) 分布的形状取决于其自由度n的大小， 随着n的增大，其形状逐渐趋于对称 2分布的数学期望为 方差为,2分布,.2分布具有可加性若和为两个独立的自由度分别为n1和n2的2分布随机变量和，则这一随机变量服从自由度为（ n1n2 ）的2分布 .2分布通常用于总体方差的估计和非参数检验等,t分布,1.设随机变量XN(0,1),Y 2 (n) ,且X与Y独立,则随机变量 的分布称为t 分布,记为t(n),其中n为自由度. 2.t分布又称为学生分布,t分布,3. t分布的密度函数是偶函数,关于y轴对称. 4.当n2时, t分布的数学期望E(t)=0; 当n3时, t分布的方差D(t)=n/n-2 5.自由度为1的t分布称为柯西分布. 6.随着自由度的增加, t分布的密度函数越来越接近标准正态分布的密度函数.实际应用中,当n30时, t分布可近似为标准正态分布.,t 分布,t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的t分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布,分布,1.设Y是服从自由度为m的2分布的随机变量，Z是服从自由度为n 的2分布的随机变量，且Y和Z相互独立，则 服从第一自由度为m,第二自由度为n的分布,记为F(m,n). 2.分布通常用于方差分析和回归分析,分布,3.F分布的数学期望和方差为: E(x)=n/n-2, n 2 D(x)=2n2(m+n-2)/m(n-2)(n-4), n4 4.如果随机变量X服从t(n)分布,则X2服从F(1,n)的F分布.,样本均值的抽样分布,在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 推断总体均值的理论基础,样本均值的抽样分布,样本均值的抽样分布 的确定,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数学期望为，方差为2/n。即xN(,2/n),样本均值的抽样分布 的确定,当总体分布是非正态分布时,样本均值的抽 样分布的确定取决于样本容量n的大小 当n充分大时（通常要求n 30 ），根据 中心极限定理，样本均值的抽样分布近似服 从均值为、方差为2/n的正态分布,中心极限定理 (central limit theorem),中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,中心极限定理 (central limit theorem),x 的分布趋于正态分布的过程,样本均值抽样分布与总体分布的关系,总体分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,正态分布,正态分布,非正态分布,样本比例的抽样分布,1. 在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布， 称为样本比例的抽样分布. 2. 当n充分大时（通常要求np 5和 n(1-p) 5 ），样本比例的抽样分布可用正态分布近似.,样本比率的抽样分布 (数学期望与方差),样本比例的数学期望 样本比例的方差,样本方差的抽样分布,1.在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布，称为样本方差的抽样分布。 2.对于来自正态总体的简单随机样本，比值（n-1）s2/2的分布服从自由度为（n-1）的 2分布,两个样本统计量的抽样分布,两个样本均值之差的抽样分布 定义：从两个总体中分别独立地抽取容量为n1和n2的样本，在重复选取容量为n1和n2的样本时，由两个样本均值之差的所有可能取值形成的相对频数分布，称为两个样本均值之差的抽样分布。,两个样本均值之差的抽样分布,当两个总体都为正态分布时，两个样本均 值之差的抽样分布服从正态分布（1-2， 12/n1+22/n2）； 当两个总体都为非正态分布，只要n1和n2足够大（通常要求大于等于30），两个样本均值之差的抽样分布仍然可以用正态分布来近似。,两个样本比例之差的抽样分布,两个样本比例之差的抽样分布 定义：从两个服从二项分布的总体中，分别独立地抽取容量为n1和n2的样本，在重复选取容量为n1和n2的样本时，由两个样本比例之差的所有可能取值形成的相对频数分布，称为两个样本比例之差的抽样分布。,两个样本比例之差的抽样分布,当两个样本都为大样本时，则两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似 两个样本比例之差的抽样分布的均值为 方差为,两个样本方差比的抽样分布,两个样本方差比的抽样分布 定义：从两个正态总体中分别独立地抽取容量为n1和n2的样本，在重复选取容量为n1和n2的样本时，由两个样