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文档简介

高等数学,中州大学基础科学学院 数学教研室,第四节 若干初等可积函数类,一、有理函数的积分,三、无理函数的积分,二、三角函数有理式的积分,有理函数：,两个多项式的商表示的函数称之有理函数,一、有理函数的积分,称为真分式；,称为假分式,利用多项式除法, 假分式可以化成一个,例如,多项式和一个真分式之和,多项式的积分是容易的，于是有理函数,的知识有如下定理,的积分只须考虑真分式的积分根据代数学,定理 设 分别为 次实系数,多项式， 且已知 可因式分解为：,一组常数,使,定理表明，真分式可以分解为下列两类分式,（称为最简分式）之和：,第一类：,第二类：,的积分把真分式如何化成最简分式，具体,因此，真分式的积分化为上述两类最简分式,步骤如下：,第一步：将 在实数范围内分解成,一次和二次质因式的乘积，分解结果只含,两种类型的因式：一种是 ，另一种,是 ，其中 ，,、 为正整数,分式是指这样一种简单分式，其分母为一次,式或二次质式的正整数次幂）具体方法是：,第二步：按照 的分解结果，将,真分式 拆成若干个部分分式之和（部分,若 有因式 ，则和式中对应,地含有以下 个部分分式之和：,若 有因式 ，则和式中对应,地含有以下 个部分分式之和：,为待定常数，可通过待定系数法,求得即,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,（2）分母中若有因式 ，其,如下：,最简分式中的待定系数如何确定，举例说明,例1 将真分式 分解成最简分式,之和,解 分母 ，由,定理，设,右边通分，得,比较等式左右两端的分子中 同次幂的,系数，得,即,得到待定系数的值,也可给 一些特殊的值（即称为赋值法），,于是,消去分母，得,令 ，得 ，故,令 ，得 ，故,于是,例2 将真分式 分解成最简分式之和,解 由定理，设,消去分母，得,令 ，得 ，故,令 ，得 ，故,令 ，得,故,于是,例3 将真分式 分解成,解 由定理，设,最简分式之和,消去分母，得,或,比较等式左右两端中 同次幂的系数，得,于是,真分式的积分归结为两类最简分式的积分，有,第一类：,第二类：,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解 设,消去分母，得,令 ，得 ，故,令 ，得 ，故,令 ，得 ，故,于是,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,解,例10 求,解,例11 求,解,例12 求,以三角函数为变元的有理函数，统称为三角,二、三角函数有理式的积分,函数有理式记为,对三角函数有理式的不定积分,作如下变换（称为万能变换）：,设,则有,，且,于是,例13 求,例14 求,解（一）令,解（二）令,解（三）,例15 求,解,讨论类型,解决方法：,作代换去掉根号,例16 求,解 令,三、简单无理函数的积分,则,例16 求,解 令,则,例16 求,练习题,一、填空题：,1、,2、,5、有理函数的原函数都是
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