无穷小量4函数的连续性.ppt

2019/6/20,1,第三讲 (一) 无穷小量与无穷大量 (二) 连续函数,二、三个重要关系,三、无穷小量的比较,四、求极限举例,五、函数的连续性,一、无穷小量与无穷大量,2019/6/20,2,定义1： 在某个变化过程中,极限为零 的函数,称为在此变化过程中的 无穷小量（无穷小）。,五、无穷小量与无穷大量,（一）定义,例如：,注意：无穷小量是极限 为零的函数！无穷小量不是绝对值很小的数！,2019/6/20,3,定义2： 在某个变化过程中,绝对值无限 变大的函数,称为在此变化过程中的 无穷大量（无穷大）。,2019/6/20,4,例,2019/6/20,5,（二）无穷小与无穷大的性质,性质1：,注意：,性质1只可以推广到有限个函数,例,2019/6/20,6,性质2：,性质3：,2019/6/20,7,例,例,2019/6/20,8,1.（无穷小与无穷大）,2.（极限与无穷小）,（三）三个重要关系,2019/6/20,9,3.无穷大与无界函数,问题：,两个无穷小量的商是否为无穷小量？,2019/6/20,10,二、无穷小量的比较,定义：,2019/6/20,11,2019/6/20,12,几个常用的等价无穷小量,2019/6/20,13,等价无穷小量的性质,性质1：,2019/6/20,14,性质2：,等价代换,2019/6/20,15,解,例1,三、求极限举例,2019/6/20,16,例2,解,2019/6/20,17,2019/6/20,18,例3,解,2019/6/20,19,讨论：,代数和不能代换！,2019/6/20,20,解,例4,2019/6/20,21,解,例5,2019/6/20,22,解,例6,2019/6/20,23,解,例7,2019/6/20,24,从而,2019/6/20,25,连 续 函 数,2019/6/20,26,函数连续性的定义,函数的连续性描述函数的渐变性态, 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述：, 当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变； 连续函数的图形可以一笔画成,不断开.,2019/6/20,27,例如：,2019/6/20,28,2019/6/20,29,2019/6/20,30,2019/6/20,31,定义1：,以上描述实质上是同义的反复,数学上要确切 地刻画函数连续性,必须用极限作定量地描述.,（一）定义,2019/6/20,32,注意1,以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性.,注意2,2019/6/20,33,定义2：,（函数在一点的单侧连续性）,2019/6/20,34,定义3：,（ 函数在区间上的连续性）,2019/6/20,35,（二）间断点的分类,根据间断点的不同情况，可以分为三类：,1. 可去型间断点,可去型间断不是本质性的间断,可以重新 定义, 使其连续.,2019/6/20,36,例如,2019/6/20,37,2. 第一类间断点,例 符号函数,2019/6/20,38,3. 第二类间断点,例,2019/6/20,39,五、函数连续性的基本性质,（一）连续性定义的等价形式：,2019/6/20,40,（二）连续函数的有界性：,2019/6/20,41,（三）连续函数的保号性：,2019/6/20,42,（四）连续函数的运算性质：,2019/6/20,43,（六）初等函数的连续性,初等函数在其定义区间上是连续的。,（五） 关于反函数的连续性,2019/6/20,44,连续函数的性质,一、连续函数的基本性质,二、初等函数的连续性,三、闭区间上连续函数的性质,2019/6/20,45,一、函数连续性的基本性质,（一）连续性定义的等价形式：,2019/6/20,46,（二）连续函数的有界性：,2019/6/20,47,（三）连续函数的运算性质：,2019/6/20,48,二、初等函数的连续性,初等函数在其定义区间上是连续的。,（四） 关于反函数的连续性,结论：,2019/6/20,49,1. 有界性定理：,2. 最大最小值