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文档简介

,第一章,一、自变量趋于无穷大时函数的极限,第四节,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于有限值时函数的极限,本节内容 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的极限,定义1 .,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,例1. 证明,注:,例2,定义2.,当,时, 有,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,那么,二、自变量趋向有限值时函数的极限,定义3-4. 左（右）极限 ！,左极限 :,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,结论：,( P38 题8 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 证明,例5. 证明,例6. 证明: 当,二、函数收敛的性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似数列极限的性质有： 性质1：极限惟一性。见定理 1.12 性质2：局部有界性。见定理 1.13 性质3：局部保序性。见定理 1.14 推论1：逆否命题 推论2：g(x) 为常数函数。 性质4：极限均存在，可四则运算。见定理 1.15,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质 5：复合函数的极限。见定理 1.16 例如：f(x) = sin sin sin x, 当 x 趋于0. 性质 6：函数极限与数列极限的关系.见定理 1.17 例如：f(n) = sin 1/n, 当n 趋于无穷！ Question：如何判断函数的极限不存在？ 方法：运用2个推论（见书 p45）,的不同数列,法1 找一个数列,且,使,法2 找两个趋于,及,使,不存在 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例题可见：书上例 13。,1、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则,三、极限存在准则及两个重要极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一章,2、二个重要极限,1. 函数极限存在的两边夹（夹逼）准则（见定理 1.18与定理 1.19）,定理.,且,( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,圆扇形AOB的面积,二、 两个重要极限,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,注 目录 上页 下页 返回 结束,2.,证: 当,时, 设,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,总结：两个重要极限,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,解:,例3. 求,解: 令,则,因此,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,解: 原式 =,说明: 计算可利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 求,解: 令,则,说明 ：若利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,原式,例6. 求,解: 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,判别法 2： 柯西收敛准则！见 定理 1.
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