北京市西城区2019年九年级上期末数学试题含答案解析

北京市西城区2019年九年级上期末数学试题含答案解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1二次函数的最小值是 AB7C D5 【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】当x=5时，二次函数取最小值，最小值是7，所以选B【答案】B2如图，在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，则cosA的值为 ABC D【考点】锐角三角函数【试题解析】AC=3,BC=4AB=5cosA=选A【答案】A3如图，C与AOB的两边分别相切，其中OA边与C相切于点P若AOB=90，OP=6，则OC的长为 A12 BC D【考点】切线的性质与判定【试题解析】OP=CP=6CPO=90OC=【答案】C4将二次函数用配方法化成的形式，下列结果中正确的是 AB C D【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】选C【答案】C5若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12 cm，则此扇形的圆心角等于 A30 B60 C90 D120【考点】弧长计算【试题解析】设圆心角为x，根据题意得：解得：x=120选D【答案】D6如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(，2)，ABx轴于点B以原点O为位似中心，将OAB放大为原来的2倍，得到OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1的坐标为 A(，4) B(，1) C(2，) D(2，4) 【考点】位似图形【试题解析】位似比是2，所以(-1,2)，横坐标和纵坐标都扩大2倍，所以点的坐标为(-2,4)选A【答案】A7如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为A40海里B40tan37海里C40cos37海里 D40sin37海里【考点】解直角三角形【试题解析】A=37BP=40sin37(海里)选D【答案】D8如图，A，B，C三点在已知的圆上，在ABC中，ABC=70，ACB=30，D是 的中点，连接DB，DC，则DBC的度数为A30 B45 C50 D70【考点】弦、弧、圆心角的关系【试题解析】ABC=70，ACB=30弧BAC所对的圆周角为100点D是中点DBC的度数为50【答案】C9某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为A B C D【考点】二次函数的概念及表示方法【试题解析】y=(60-x)(300+20x),选B【答案】B10二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为 A8BC D【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】把x=-2带入得：8+16+m=0所以m=-24选D【答案】D二、填空题（本题共18分，每小题3分）11若，则的值为 【考点】分式的基本性质【试题解析】【答案】12点A(，)，B(，)在抛物线上，则 （填“”，“y2【答案】13ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的DEF的最小边长为15，则DEF的周长为 【考点】相似三角形的应用【试题解析】根据相似比等于周长比所以15：5=3ABC的周长为30所以DEF的周长=90【答案】9014如图，线段AB和射线AC交于点A，A=30，AB=20点D在射线AC上，且ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD= 【考点】三角形的性质及其分类【试题解析】当BD垂直AC时AD取值最大所以0AD，所以AD可以等于10.【答案】1015程大位所著算法统宗是一部中国传统数学重要的著作在算法统宗中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺送行二步与人齐，五尺人高曾记仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉良工高士素好奇，算出索长有几？” 【注释】1步=5尺译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？” 如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为 【考点】垂径定理及推论【试题解析】根据题意得：EA=DB-AC=4OE=x-4在直角三角形OEB中应用勾股定理得：【答案】16阅读下面材料：在学习圆这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线已知：P为O外一点求作：经过点P的O的切线小敏的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交O于A，B两点；（3）作直线PA，PB所以直线PA，PB就是所求作的切线老师认为小敏的作法正确请回答：连接OA，OB后，可证OAP=OBP=90，其依据是 ；由此可证明直线PA，PB都是O的切线，其依据是 【考点】切线的性质与判定【试题解析】根据定理，直径所对的圆周角是直角，OAP和OBP都是圆O直径所对的圆周角OAP=OBP=90PA,PB就是O的切线，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【答案】直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线三、解答题（本题共72分，第1726题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17计算：【考点】特殊角的三角函数值【试题解析】原式=【答案】18如图，ABC中，AB=12，BC=15，ADBC于点D，BAD=30 求tanC的值【考点】锐角三角函数【试题解析】ADBC于点D，ADB=ADC=90在RtABD中，AB=12，BAD=30，BD=AB=6，AD=ABcosBAD = 12cos30=BC=15，CD= BCBD=156=9在RtADC中，tanC=【答案】19已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】（1）令，则解得，点A在点B的左侧，A（，0），B（3，0）对称轴为直线（2）当时，顶点C的坐标为（1，4）点C，D关于x轴对称，点D的坐标为（1，）AB=，【答案】(1)x=1;(2)16.20如图，四边形ABCD中，ADBC，A=BDC（1）求证：ABDDCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长【考点】相似三角形判定及性质【试题解析】（1）证明：ADBC，ADB=DBCA=BDC，ABDDCB（2）ABDDCB，AB=12，AD=8，CD=15，DB=10【答案】（1）见解析（2）DB=1021某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？【考点】一元二次方程的应用【试题解析】根据题意，得整理得解得，不符合题意，舍去，答：人行通道的宽度是2米【答案】2米22已知抛物线：与x轴只有一个公共点（1）求的值；（2）怎样平移抛物线就可以得到抛物线：？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，）和点B（，）都在抛物线：上，且，直接写出的取值范围【考点】二次函数的图像及其性质【试题解析】（1）抛物线：与x轴有且只有一个公共点，方程有两个相等的实数根解得（2）抛物线：，顶点坐标为（1，0），抛物线：的顶点坐标为（-1，-8），将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度就可以得到抛物线（3）【答案】（1）（2）见解析（3）23如图，AB是O的一条弦，且AB=点C，E分别在O上，且OCAB于点D，E=30，连接OA（1）求OA的长；（2）若AF是O的另一条弦，且点O到AF的距离为，直接写出BAF的度数【考点】圆的综合题【试题解析】（1）OCAB于点D，AD=DB，ADO=90AB=，AD=AOD=2E，E=30，AOD=60在RtAOD中，sinAOD=，OA=4（2）BAF=75或15【答案】（1）4;（2）75或1524奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60）【考点】解直角三角形【试题解析】在RtADB中，ADB=90，B=45，BAD=90B=45BAD=BAD=DB设AD=x，在RtADC中，tanACD=，ACD=58，DC=DB= DC+ CB=AD，CB=90，+90=x将tan581.60代入方程，解得x240答：最高塔的高度AD约为240米【答案】240m25如图，ABC内接于O，AB是O的直径PC是O的切线，C为切点，PDAB于点D，交AC于点E （1）求证：PCE=PEC；（2）若AB=10，ED=，sinA=，求PC的长【考点】圆的综合题【试题解析】（1）证明：连接OC，如图1 PC是O的切线，C为切点，OCPCPCO=1+2=90PDAB于点D，EDA=90A+3=90OA=OC，A=12=33=4，2=4即PCE=PEC（2）作PFEC于点F，如图2AB是O的直径，ACB=90在RtABC中，AB=10，BC=ABsinA=6AC=8在RtAED中，ED=，AE=EC=ACAE=2=4，PE=PCPFEC于点F，FC=EC=，PFC=902+5=90A+2=1+2=90A=5sin5 =在RtPFC中，PC=【答案】见解析图126阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于A（1，3）和B（，）两点观察图象可知：当或时，；当或时，即通过观察函数的图象，可以得到不等式的解集有这样一个问题：求不等式的解集某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式的解集进行了探究下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化 当时，原不等式不成立；当时，原不等式可以转化为；当时，原不等式可以转化为；图2（2）构造函数，画出图象设，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象 双曲线如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足的所有的值为 ； （4）借助图象，写出解集 结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式的解集为 【考点】反比例函数与一次函数综合【试题解析】（2）抛物线如图所示；（3）根据图像，两个函数的相交时y相等，得到x的值.，或；（4）根据函数图像或在上面，成立【答案】见解析27如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点A（，），且当和时所对应的函数值相等一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限 （1）求二次函数的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论【考点】二次函数与一次函数综合【试题解析】（1）二次函数， 当和时所对应的函数值相等，二次函数的图象的对称轴是直线二次函数的图象经过点A（，）， 解得二次函数的表达式为（2）过点B作BDx轴于点D，如图1一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，解得，交点坐标为（2，1），（5，）点B在第一象限，点B的坐标为（2，1）点D的坐标为（2，）在RtABD中，AD=1，BD=1，AB=（3）结论：四边形ABCN的形状是矩形证明：设一次函数的图象与x轴交于点E，连接MB，MN，如图2点B绕点M旋转180得到点N，M是线段BN的中点MB= MNM是线段AC的中点，MA= MC四边形ABCN是平行四边形一次函数的图象与x轴交于点E， 当时，点E的坐标为（3，0）DE=1= DB在RtBDE中，DBE=DEB=45同理DAB=DBA=45ABE=DBA+DBE=90四边形ABCN是矩形【答案】见解析28在ABC中，ACB=90，AC=BC= 4，M为AB的中点D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN（1）如图1，当BD=2时，AN=_，NM与AB的位置关系是_； （2）当4BD8时，依题意补全图2；判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果 图1 图2 备用图【考点】图形的旋转【试题解析】（1），垂直；（2）补全图形如图所示； 结论：（1）中NM与AB的位置关系不变 证明：ACB=90，AC=BC， CAB=B=45 CAN +NAM=45 AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE， AD=AE，DAE=90 N为ED的中点， DAN=DAE=45，ANDE CAN +DAC =45， AND=90 NAM =DAC在RtAND中，=cosDAN= cos45= 在RtACB中，=cosCAB= cos45=M为AB的中点， AB=2AM ANMADCAMN=ACD 点D在线段BC的延长线上， ACD=180ACB =90 AMN=90 NMAB（3）当BD的长为6时，ME的长的最小值为2【答案】见解析29在平面直角坐标系xOy中，过C上一点P作C的切线l当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点规定：光线不能“穿过”C，即当入射光线在C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在C内时，只在圆内进行反射特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线光线在C外反射的示意图如图1所示，其中1=2 图1 图2 图3（1）自C内一点出发的入射光线经C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点请在图2中作出光线经C第二次反射后的反射光线；（2）当O的半径为1时，如图3，第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自O的外