2018版高中数学第二章数列2.2.2等差数列的通项公式学案苏教版.doc

2.2.2等差数列的通项公式学习目标1.掌握等差数列通项公式的推导及应用.2.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.3.能运用等差数列的性质解决有关问题知识点一等差数列的通项公式思考等差数列an中，首项为a1，公差为d，如何用a1，d表示an?梳理一般地，ana1(n1)d称为等差数列an的通项公式知识点二等差数列通项公式的几何意义思考已知等差数列an的首项a1和公差d能表示出通项公式ana1(n1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项公式an?梳理等差数列通项公式可变形为andn(a1d)，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a1)，(m，am)，(n，an)都是这条直线上的点d为直线的斜率，故两点(1，a1)，(n，an)连线的斜率d.当两点为(n，an)，(m，am)时，有d.知识点三等差数列的性质思考还记得高斯怎么计算123100的吗？梳理在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和即a1ana2an1a3an2.注意到上式中的序号1n2(n1)，有：在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则aman_.特别地，若mn2p，则anam_.类型一求等差数列的通项公式例1甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t(s)123？60距离s(cm)9.819.629.449？(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？反思与感悟由于anam(nm)d，要求通项公式，只需求出该数列的任意一项和公差跟踪训练1已知等差数列an：3,7,11,15，.(1)135,4m19(mN*)是an中的项吗？试说明理由；(2)若ap，aq(p，qN*)是数列an中的项，则2ap3aq是数列an中的项吗？并说明你的理由类型二等差数列通项公式及推广形式的应用命题角度1列方程(组)求基本量例2在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公式反思与感悟把已知条件转化为关于a1，d的方程组求解，是一种常用思想，称为方程思想灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量跟踪训练2等差数列an为递减数列，且a2a416，a1a528，求数列an的通项公式命题角度2等差数列的通项公式与一次函数关系例3已知数列an的通项公式为anpnq，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？反思与感悟从通项公式代数特点上看，anknb(k，b为常数，nN*)an是等差数列其中公差为k.借助这一性质可以迅速判断某数列是否为等差数列，但不宜用来证明证明要用定义：an1and，nN*.跟踪训练3若an是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有_个|an|；an1an；panq(p，q为常数)；2ann类型三等差数列性质的应用例4已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式引申探究1在本例中，不难验证a1a4a7a2a4a6，那么，在等差数列an中，若mnpqrs，m，n，p，q，r，sN*，是否有amanapaqaras?2在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7_.反思与感悟解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列an的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差求解，属于通项方法；或者兼而有之这些方法都运用了整体代换与方程的思想跟踪训练4在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，求a3a6a9的值1在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d_.2在等差数列an中，已知a42，a814，则a15_.3等差数列an中，a4a515，a712，则a2_.4下列命题中正确的是_若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列；若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列；若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列；若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列1等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列2在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量答案精析问题导学知识点一思考ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1ddda1(n1)d.知识点二思考设等差数列的首项为a1，则ama1(m1)d，变形得a1am(m1)d，则ana1(n1)dam(m1)d(n1)dam(nm)d.知识点三思考利用1100299.梳理apaq2ap题型探究例1解(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以该模型是一个等差数列模型因为a19.8，d9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s9.8t.(2)当t1 min60 s时，s9.8t9.860588(cm)当s49 cm时，t5(s)跟踪训练1解a13，d4，ana1(n1)d4n1.(1)令an4n1135，n34，135是数列an中的第34项令an4n14m19，则nm5(m，nN*)4m19是数列an中的第m5项(2)ap，aq是数列an中的项，ap4p1，aq4q1.2ap3aq2(4p1)3(4q1)8p12q54(2p3q1)1，其中2p3q1N*，2ap3aq是数列an中的第2p3q1项例2解方法一设公差为d，则解得所以ana1(n1)d3(n1)22n1.方法二因为a8a2(82)d，所以1756d，解得d2.又因为ana2(n2)d，所以an5(n2)22n1.跟踪训练2解a2a4a1a516，所以又a1a5，故a114，a52，d3，故an143(n1)173n.例3解取数列an中任意相邻两项an和an1(n1)，求差得anan1(pnq)p(n1)qpnq(pnpq)p.它是一个与n无关的常数，所以an是等差数列由于anpnqqp(n1)p，所以首项a1pq，公差dp.跟踪训练33例4解方法一因为a1a72a4，所以a1a4a73a415，即a45.又因为a2a4a645，所以a2a69，即(a42d)(a42d)9，(52d)(52d)9，解得d2.若d2，ana4(n4)d2n3；若d2，ana4(n4)d132n.方法二设等差数列的公差为d，则由a1a4a715，得a1a13da16d15，即a13d5，由a2a4a645，得(a1d)(a13d)(a15d)45，将代入上式，得(a1d)5(52d)45，即(a1d)(52d)9，解，组成的方程组，得a11，d2或a111，d2，所以an12(n1)2n3或an112(n1)2n13.引申探究1解设公差为d，则ama1(m1)d，ana1(n1)d，apa1(p1)d，aqa1(q1)d，ara1(r1)d，asa1(s1)d，amanap3a1(mnp3)d，aqaras3a1(qrs3)d，mnpqrs，amanapaqaras.220解析a3a810，a3a3a8a820.