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第2.3节 最小方差无偏估计和 有效估计,一、最小方差无偏估计,二、有效估计,一、最小方差无偏估计,最小方差无偏估计在均方误差意义下达到最优，是一种最优估计.如何寻求此种估计，将变得非常有意义.,1 最小方差无偏估计的判别法,定理2.7,证,注,此定理是最小方差无偏估计的判别法，但无 法寻求最小方差无偏估计的存在性.,2 由于L(X)的任意性，因而很难利用定理判别.,例1(p52例2.19),证,由此例可以看出，利用判别定理进行判别，非常复杂，况且也无法利用此定理去寻求MVUE.,充分完备统计量是解决上述困难的有力工具.,定理2.8,证明从略,定理2.9,注,由此定理可以看出，需求最小方差无偏估计， 可以只在无偏的充分统计量中去发现，如果这 样的无偏充分统计量唯一，则此统计量就是 最小方差无偏估计。以下定理回答此问题.,证,以及,由此可得,又由于T是完备统计量，因而由定义1.6可知,注,最小方差无偏估计计算方法,例如,例2(p54例2.20),解,由例1.10可知,所以,例3(p54例2.21),解,首先寻求充分完备统计量，样本的联合分布为,利用完备分布族定义可以验证该分布族具有完备性.,又由于,所以,二、有效估计,上一节介绍了最小方差无偏估计以及相应的寻求方法。自然会引入另一个问题：最小方差无偏估计是否可以任意的小？是否有下界？事实上， Rao-Cramer不等式可以回答此问题。,1、Fisher信息量,为Fisher信息量.,Fisher信息量的另外一种表达式为：,2、Rao-Cramer不等式,定理2.10,由此可见，统计量的方差不可以无限的小，存在下界。当其方差达到下界，它一定是MVUE. 但最小方差无偏估计不一定达到下界.,证(证明过程可以不讲）,由统计量T(X)的无偏性可知：,因而,又由于,因而,则有,改写上式为,由施瓦兹不等式可知,因而有,又因为,这是因为,则有,综上所述,例4(p55例2.22),解,解,例5(p56例2.23),其信息量的下界为,又因为,其信息量的下界为,3、有效估计,定义2.8,定义2.9,定义2.10,例6,证,有信息量计算公式可知：,
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