26平面向量的数量积与平面向量应用举例

2015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案 主备人：邹伟 备课日期：2015/9/24课题： 平面向量的数量积与平面向量应用举例一、考点梳理：1平面向量的数量积定义:已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cos ，规定0a0.2向量数量积的运算律(1)abba (2)(a)b(ab)a(b) (3)(ab)cacbc3平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|4.易错点1若a，b，c是实数，则abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c，若满足abac(a0)，则不一定有bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量2数量积运算不适合结合律，即(ab)ca(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(ab)c与a(bc)不一定相等二、基础自测：1已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos ，若向量a3e12e2，则|a|_.2在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)， (2,2)若ABO90，则实数t的值为_3已知向量a，b均为非零向量，(a2b)a，|a|=|b|，则a，b的夹角为()A.B. C. D.4在四边形ABCD中， (1,2)， (4,2)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D10三、考点突破：考点一、平面向量的数量积的运算【例1】1.设向量a，b 满足|ab|，|ab|，则ab()A1 B2 C3 D5 2在ABC中，若a120，1，则|的最小值是()A. B2 C. D63(2013全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.类题通法向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解考点二、平面向量数量积的性质【例2】平面向量数量积的性质是高考的重点归纳起来常见的命题角度有：(1)平面向量的模；(2)平面向量的夹角；(3)平面向量的垂直角度一平面向量的模1(13天津)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60 , E为CD的中点若1 , 则AB的长为_角度二平面向量的夹角2(1)已知平面向量a，b，|a|1，|b|，且|2ab|，则向量a与ab的夹角为()A. B. C. D(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值等于()A. B C. D角度三平面向量的垂直3在直角三角形ABC中，已知(2,3)，(1，k)，则k的值为_类题通法1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2aa|a|2或|a| .(2)|ab|. (3)若a(x，y)，则|a|.考点三、平面向量与三角函数的综合【例3】(2013江苏)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值 类题通法平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等四、当堂检测1已知向量p(2，3)，q(x,6)，且pq，则|pq|的值为()A. B. C5 D132已知向量a(3，2)，b(1,0)，向量ab与a2b垂直，则实数的值为()A B. C D.3(13湖北)已知点a(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A B. C D4已知，是平面单位向量，且若平面向量满足，则 五、课后巩固：1已知向量a，b，满足|a|3，|b|2，且a(ab)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.2在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上取一点P，使有最小值，则P点的坐标是()A(3,0) B(2,0) C(3,0) D(4,0)3在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是()A. B. C. D.4已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A .1 B. C.1 D.25已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.6.设向量a，b 满足|ab|，|ab|