《数学概念的教学》PPT课件.ppt

2 概 念 的 教 学,学以致用！,一、数学概念的综合介绍： 数学中的概念有些是定义的，如方程、对数、函数；有些是 不定义的（原始概念），只加以直接描述，如点、线、面、集合 等；有些既不定义也不描述，而作为常识应用，如无限延伸、旋 转等。由于各个概念的具体内容和它在教学中的地位与作用的不 同，有的概念简单，有的概念复杂，有的直观易懂，有的抽象不 易接受，有些概念之间存在着一定联系，有些不同概念则容易混 淆，而且概念也有主要与次要，关键与一般之分。因此，对各个 数学概念教学的具体要求也有所不同。教学时对于不同的概念应 采用不同的教学方法，灵活多变地引导学生掌握数学概念。, 2 概 念 的 教 学,二、数学概念教学的缺憾： 当前，不重视章节起始课的教学，概念教学走过场，以解题 教学代替概念教学的现象比较普遍在方式上以“告诉”为主， 让学生“占有”新概念，在概念的背景引入上着墨不够，没有给 学生提供充分的概括本质特征的机会，使学生思维呈现依赖 性，更令人担忧的是，有些老师不知如何教概念 有的老师可以把解题讲得头头是道，但概念教学就没词、 没招了我们认为，概念再多也不能成为“讲起来枯燥乏味”的 理由让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活 泼、优质高效的关键这就要求我们一方面充分利用新旧知识 蕴含的矛盾，激发认知冲突，把学生卷入其中；另一方面要让 学生有参与的时间与机会，特别是有思维的实质性参与,1）重形式定义，轻意象表征 意象表征就是概念经过个人情感加工后在大脑中的呈现方 式，比如提到“函数”的概念，呈现在学生大脑中的一定是一 些函数的解析式而不是“象”“原象”等抽象的东西，因此教学中， 我们在使用抽象的数学语言和符号表述新概念、新思想之前!应 通过可观察的实物、图形、图表等描述性的、可亲自体验的形 式来为新概念作准备!从而引起学生的学习兴趣! 用他们自己的 语言去阐述和解释!以达到对概念的真正的理解。,2）重概念的语意分析，轻概念的形成过程 “一个定义，几项注意”是通用的教学方式 3）停留在单一概念的层面上 缺少将概念纳入概念体系的环节，不能从比较相关概念 中明确和巩固概念。 4）缺少概念理解的层次观 不分主次、不分轻重，所有概念都一样的教学模式，一 样的精力投入。,三、如何进行概念教学？（概念课最难讲） 如果是小概念，多举例子说清即可，如果是大概念 则要通过引入形成理解巩固四个步骤才能完成！ 在中学，大概念主要有： 数轴、直角坐标系、绝对值、算术（平方）根、代数式、同 类项、相似形、平行四边形、梯形、方差、函数、单调函数、命 题四种形式、对数、充要条件、三角函数、棱柱、二面角的平面 角、三视图、轨迹方程、椭圆、双曲线、抛物线、向量、向量的 数量积、排列组合、概率、古典概型、几何概型、直方图、导 数、平均变化率、程序框图等。,1、概念的引入 创设情景，让学生感受体验数学概念的产生、发展过程， 这是新课程标准提出的一个要求! 引入概念的教学过程，是揭 示概念发生、形成的过程，为此，教师应该提供丰富的背景资 料(如实物、模型、教具等)或具体实例，提供一些有利于学生自 主学习、探究活动的问题，让学生亲身参与和主动构建，使学 生经历概念的发生和形成过程，从而归纳或概括出概念的本 质,1）从实例、实物、操作引入 例1：直角坐标系的引入： 老师要求学生把课桌全部并拢，以某同学为原点拉两根带箭 头的绳子，绳子上挽些结，标上数字，让每个人将自己的位置 用两个数表示出来，引入坐标的概念。 接着喊：“坐标为（5，8)的同学站起来!” “纵坐标为2的同学站起来!” “x=3的同学站起来!” “y=x的同学站起来!”等，课堂相当活跃。,2）从需要引入：实际需要和数学本身的需要 例2：数轴的引入： 方式1：用温度计引出数轴，这是我们常见的做法，道理很 简单：温度计完全具备数轴的三要素，它又是常见的生活需要 的用具，学生熟悉易懂! 但有缺憾：学生会想你是怎样想到按温度计的方法画数轴 的？另外，温度计已十分完整，学生无需任何思维只需模仿即 可!事实上，温度计的发明要比数轴晚许多，数学家根本不是看 到了温度计后才想到数轴的! 所以就有了： 方式2：对比日常生活与数学内在的需要来引入：,“同学们：我们刚学了有理数，它有正数、负数与零，有许多 许多的数，有点乱糟糟的，怎样整理一下呢？” “同学们上体育课时，老师都叫同学们排队，这不是一种整理 吗！大家试着排排！” 学生依照排队进行操作，先画一条直线，把数放在直线上， 学生都把非负数先放，整理好非负数后，就产生了问题：负数怎 样整理呢？如“-1”放在哪里？经过一番激烈的讨论，反复的尝 试，负数也整理好了，这样数轴就产生了! 以“排队”这个日常生活中的事例引入，经过交流讨论、尝 试探索，得出数轴的概念，而温度计只作为数轴的一个应用!这 样的引入合理、自然，学生们觉得数轴是他们自己创建的，人人 喜形于色，这种“再创造”的学习，教学效果更好!,3）以旧引新： 例3：极坐标系概念的引入 师：前面学过的平面直角坐标系给我们研究直线、圆锥曲线 等几何问题带来了很多方便。也给我们的生活带来了很多方 便。如一张电影票，只要标上几排几座，就能在偌大的电影院 里找到唯一的座位。 生：点头表示同意 (进入回忆状态，并踏上老师预设的轨道！) 师：但若有人向你问路，你对他说：“把你自己的位置作为 点(5，3)，你只要走到点(8，8)就可以了。 生：(愕然，笑)不可能这么答! (进入情境，认知冲突被激起!),师：类似的问题还有；炮兵问连长炮弹该往哪儿打?连长 说：“向北500m，再拐个弯向东1000m！” 生：(大笑) 至此，平面直角坐标系的“短处”已被揭出，如何拓展知 识的结构成了学生迫切需要解决的同题，于是学生开始探究各 种可能的回答问路的方式，并从中归纳出共同的也是最本质的 属性距离与方向，从而形成极坐标系的概念。,4）类比引入： 例4：双曲线的引入 （1）复习椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等 于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 （2）设疑：从椭圆的定义中“和”字，你能联想到什么？学 生联想到“差”，于是得出新问题：平面内与两个定点F1、F2 的距离的差等于常数的点的轨迹是什么曲线？这里的常数要满 足什么条件？学生经过思考、讨论后得出：常数满足的条件是 小于|F1、F2|（因为三角形两边之差小于第三边）。,2、概念的形成（重点） 概念的形成过程充满矛盾冲突，这是激发学生学习兴趣 的内在条件比如，考察司空见惯的“量”，有的“只有大小没 有方向”，有的“既有大小又有方向”，在比较中就产生了区别 的需要，这就是向量概念的生长点与人出生后要起名字一 样，我们要给新的数学对象命名，并且要与它的本质相吻 合，要区别于其它概念，“方向”就成了区别的标准，没有“方 向”的叫数量，有“方向”的叫向量，概念的产生自然而然 形成过程： 观察实例分析共同属性抽象本质属性 概括定义具体应用（可借助多媒体！）,概念抽象需要典型实例谁来找例子?教师自作自画，自己 举例、概括，自己给定义，就可能枯燥乏味比如，告诉学生 什么叫平行向量、相等向量、相反向量等，学生被动听，没有 参与机会，不仅枯燥乏味，而且会使学生理解不透如果让学 生举例，要求尽量举不同的例，就会迫使他们开动脑子，就有 可能举出不同的、有趣的例，就会百花齐放这样，生动活泼 的场面自然形成，而且在举例过程中，有独立思考、合作交 流，甚至有争辩，这就形成了促进概念理解的机制让学生举 例可以促进学生思维的深度参与，因为好例子需要以理解概念 的本质属性为基础实际上，概念教学中的“参与”，其关键是 参与从典型实例中概括概念本质特征的活动,案例：关于“函数单调性”的自然形成教学实录 师：今天我们来学习函数的单调性(板书课题)， 其实函数的单调性在初中已经学过了! 生：没有吧? 师：没有?在初中不是学过形如“y=2x+3”这样的函数吗? 生：一次函数!学过 师：它具有什么性质? 生：y随x的增大而增大,师：很好!其实“Y随x的增大而增大”就是函数y=2x+3具有的单调 性，只不过这种说法太“土气”了!能不能像前面学过的“集合” 那样用数学语言来描述“Y随x的增大而增大”? (学生一脸茫然!课室一片安静，大约1分钟后) 师：还是从函数 y=2x+3 的图象去看一看吧! (老师画出函数 y=2x+3 的图象) “从图上看y随x的增大而增大”实质上是什么意思? 生1：知道了，从左往右看。Y=2x+3的图象是上升的! 生2：函数 Y=2x+3 的图象左低右高!,师：很好!生1、生2的说法差不多，但什么地方算是左? 什么地方算是右? 生：在图象上取两个点，左边的点比右边的点低! 师：不错!但如果只取两个点，左边的点比右边的点低，能否说 图象就是上升的?(老师画图举出反例) 生：不能!应该任意取两点都有左边的点都比右边的点低，才能 说明图象是上升的 师：太好了!那么左边的点和右边的点能否用数学语言表示出来? 生：可以!设左边的点为P1(x1，y1)，右边的点为P2(x2，Y2),师：很好!又如何表示左边的点比右边的点低? 生：即：当x1X2时，有Y1Y2 师：好极了!现在把前面的讨论联系起来就是说：在函数y=2x+3 的图象上任取两点P1(x1，y1)，右边的点为P2(x2，Y2)， 当x1X2时，有Y1Y2则函数y=2x+3的图象是上升的，即Y随 x的增大而增大 那对一般函数来说，怎样判定Y是否随x的增大而增大呢? 生：任取x1、X2 ，若x1X2 时，有f(x1)f(x2)，则函数f(x)就是 随x的增大而增大 师：很好!我们把这样的函数称为增函数，请大家看书,反思与简评: “增函数”这一概念的传统形成途径一般是：“图形语言(从 左往右看图象是上升的)自然语言(y随x的增大而增大) 数学语言(课本定义）增函数”，其中由“自然语言”到 “数学语言”，学生感到比较抽象，似懂非懂，不太自然而在 上述形成过程中。从学生熟知的一次函数的性质出发，由“自 然语言(y随x的增大而增大）图形语言(图象上左边的点比 右边的点低)数学语言增函数”，这种形成途径则自然 多了，尤其是左边的点比右边的点低的数学刻画，直观自然， 通俗易懂不仅如此，还让学生体验到了“增函数”这一概念的 概括全过程，这也是概念教学的关键所在,3、概念的理解 初步形成概念后，就要给概念用最简洁、准确、严密的科 学语言下定义和符号表示，对这些东西的理解，也是难点。 理解的内容包括： 1）定义、种概念、属差（不提种概念等新词） 把新概念的定义平铺直叙地讲给学生，会淡化学生的求 知欲望。让学生亲自参与到新概念下定义的过程中，不但会 激发学生的学生兴趣，而且还培养了学生的逻辑思维能力。 在饶有兴趣的问题中环游，使学生明确了概念的定义，这是 一种有意义的学习新概念的方法。,【案例】：“直线的倾斜角” 引入时以比萨斜塔为例，塔的倾斜程度是相对于地面而言， 那直线的倾斜角应是直线相对于X轴的倾斜程度而言，直觉思维 使学生首先想到：“直线与X轴的夹角就是直线的倾斜角”。 第一步：教师出示图l反驳学生，仅仅 “取直线与X轴的夹角”不行，因为图1中两条 直线与X轴的夹角都为30。，但这两条直线的倾斜方向不同。 第二步：学生在老师的引导下，考虑 到“取直线向上的方向与X轴正向所成的角”。 图2说明两者所成的角有无穷多个，反映不了 直线相对于x轴的倾斜程度。,第三步，经过冷静地思考后，学生会得到“直线向上的方 向与x轴所成的最小正角”是惟一的，它能够作为直线倾斜角 的定义。 对比发现，把“直线倾斜角”的定义直接叙述给学生，课 后善于思考的学生会问老师“为什么要这样定义?”不善思考的 学生也只是机械的背会了这个定义，并不明白它的真正内 涵。让学生亲自参与到下定义的过程中，学生不但获得了知 识而且思维也得到了进一步的提高，由开始的直觉思维上升 到最后严格的逻辑思维，教师因势利导，层层深入，学生一 步一步迈向新概念的大门。,2）内涵：字斟句酌，特别关键词 数学概念有的叙述十分简练, 寓意深刻; 有的用符号、式 子表示, 比较抽象。对于这些概念, 教师必须抓住概念中的关 键词句进行解剖分析, 揭示每一个词、句、符号、式子的含义, 使学生深刻理解概念的本质属性。 数学中有许多概念是平行相关的概念, 将它们有机地联系 在一起进行类比, 就可以收到由此及彼、温故知新的效果。有 些概念之间, 联系紧密, 种差较小, 形式相似, 容易被学生混 淆。要让学生比较它们的内涵和外延, 在比较中加以鉴别。 数学概念通常是经过多层次的抽象而得来的, 对这些比较 抽象的概念, 应引导学生将概念具体化、形象化, 借助于直观 图形, 使抽象的数学概念成为看得见摸得着的事物。,3）表示法（符号）、图 对于一些抽象难懂的概念、符号，采用比喻来解释说明 是一个好办法，善于运用比喻化深奥为浅易，并增添趣味， 一个恰当的比喻胜过十遍的重复说教。 如：函数并不因其表达的字母不同而改变，y=2x+l，(xR) 与u=2v+l(vR)是同一个函数。学生对这一点不好理解，可 以看作一个人并不因为衣着的不同而改变。f(x)、f(x0)难以 区别，拿f(X)好比全班每