2019年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课时作业.docx

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1.如图,ABCDA1B1C1D1是正方体,E,F,G,H,M,N分别是所在棱的中点,则下列结论正确的是(B)(A)GH和MN是平行直线;GH和EF是相交直线(B)GH和MN是平行直线;MN和EF是相交直线(C)GH和MN是相交直线;GH和EF是异面直线(D)GH和EF是异面直线;MN和EF也是异面直线解析:因为GHA1B,而A1BD1C,所以GHD1C,又MND1C,所以GHMN,由异面直线的判定定理可知,GH与EF异面,EF与MN为相交直线,故 选B.2.在三棱锥PABC中,PC与AB所成的角为70,E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,则FEG等于(D)(A)20(B)70(C)110(D)70或110解析:因为E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,所以EFAB,EGPC,所以FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角,又AB与PC所成的角为70,所以FEG为70或110.3.下列正方体或正四面体中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是(D)解析:由平行公理可得A中PRQS,B中PSQR,C中PQRS,因此选项A,B,C中P,Q,R,S四点均共面.D中过Q,R,S三点有唯一的一个平面,且P不在此平面内,因此P,Q,R,S不共面,故选D.4.空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是(B)(A)空间四边形(B)矩形(C)菱形(D)正方形解析:如图,E,F,G,H为空间四边形ABCD各边中点,则EFAC,HGAC.所以四边形EFGH为平行四边形.又FGBD,ACBD,所以EFFG,所以四边形EFGH为矩形,故选B.5.如图在三棱锥ABCD中,E,F是棱AD上互异的两点,G,H是棱BC上互异的两点,由图可知AB与CD互为异面直线;FH分别与DC,DB互为异面直线;EG与FH互为异面直线;EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是(A)(A) (B)(C)(D)解析:AB与CD互为异面直线,正确.当点F与点D重合时,FH分别与DC,DB相交,不异面.EG与FH总是异面直线,正确.当点E与点A重合时,EG与AB不异面.选A.6.如图,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中不正确的是(D)(A)M,N,P,Q四点共面(B)QME=CBD(C)BCDMEQ(D)四边形MNPQ为梯形解析:由中位线定理,易知MQBD,MEBC,QECD,NPBD.对于A,有MQNP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得QME=CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,知QME=CBD,MEQ=BCD,所以BCDMEQ,故C说法正确.由三角形的中位线定理,知MQBD,NPBD,所以MQNP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.故选D.7.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,HG与IJ所成角的度数为(B)(A)90(B)60(C)45(D)0解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG与IJ是一对异面直线.因为IJAD,HGDF,所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角,又ADF=60,所以HG与IJ所成的角为60.8.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为H,则以下命题中,错误的命题是(D)(A)H是A1BD的垂心(B)AH垂直平面CB1D1(C)AH的延长线经过点C1(D)直线AH和BB1所成角为45解析:AH与BB1所成角和AC1与AA1所成角相等,即A1AC1,在RtA1AC1中,AA1=1,A1C1=,AC1=,故A1AC145.其他都正确,故选D.9.已知a,b,c是空间中的三条相互不重合的直线,给出下列说法:若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线;若a,b与c成等角,则ab.其中正确的是(填序号).解析:正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可能相交、平行,也可能异面,故不正确;当a平面,b平面时,a与b可能平行、相交或异面,故不正确;当a,b与c成等角时,a与b可能相交、平行,也可能异面,故不正确.答案:10.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,则异面直线DE与AB所成的角为.解析:因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BCDE,因此ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形,于是ABC=45,故异面直线DE与AB所成的角为45.答案:4511.如图所示,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.(1)直线AB1和CC1所成的角为;(2)直线AB1和EF所成的角为.解析:(1)因为BB1CC1,所以AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,AB1B=45.(2)连接B1C,易得EFB1C,所以AB1C即为直线AB1和EF所成的角.连接AC,则AB1C为正三角形,所以AB1C=60.答案:(1)45(2)6012.如图,在四面体ABCD中,AC=BD=a,对棱AC与BD所成的角为60,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为.解析:取BC的中点E,连接EN,EM,因为M为AB的中点,所以MEAC,且ME=AC=,同理得,ENBD,且EN=,所以MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角,在MEN中,EM=EN,若MEN=60,则MEN为等边三角形,所以MN=.若MEN=120,可得MN=a.答案:或a13.如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;(2)如果AC=BD,求证:四边形EFGH是菱形.证明:(1)在ABD中,因为E,H分别为AB,AD的中点,所以EHBD且EH=BD.同理在BCD中,FGBD且FG=BD.所以EHFG且EH=FG,所以四边形EFGH为平行四边形.(2)同(1)可得,EF=HG=AC,而BD=AC,所以EH=HG=GF=FE,所以四边形EFGH是菱形.14.如图,正方体ABCDEFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.解:(1)如图,因为CGBF,所以EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又BEF中,EBF=45,所以BE与CG所成的角为45.(2)连接FH,因为HDEA,EAFB,所以HDFB,所以四边形HFBD为平行四边形,所以HFBD,所以HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以AFH为等边三角形,又依题意知O为AH的中点,所以HFO=30,即FO与BD所成的角是30.15.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心,G是CC1的中点,设GF,C1E与AB所成的角分别为,求sin2+sin2的值.解:取正方形B1C1CB的中心为点O,连接OC1,OE.因为E是正方形ADD1A1的中心,所以由正方体的性质易知OEAB,所以C1EO为异面直线C1E与AB所成的角,即C1EO=.取BC的中点H,连接GH,FH.因为F是正方形ABCD的中心,所以FHAB,所以GFH为异面直线GF与AB所成的角,即GFH=.设正方体的棱长为2,在GFH中,GH=,FH=1,GF=,所以GH2+FH2=GF2,即FHG=90,则sin =.在C1EO中,OE=2,C1E=,OC1=,所以OE2+O=C1E2,即EOC1=90,则sin =,所以sin2+sin2=1.16.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是(D)(A)(0,60)(B)0,60)(C)0,60(D)(0,60解析:连接CD1,因为CD1BA1,所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角,即=D1CP.当点P从D1向A运动时,D1CP从0增大到60,但当点P与D1重合时,CPBA1,与CP与BA1为异面直线矛盾,所以异面直线CP与BA1所成的角的取值范围是(0,60.故选D.17.已知两异面直线a,b所成的角为17,过空间一点P作直线l,使得l与a,b的夹角均为9,那么这样的直线l有(B)(A)3条(B)2条(C)1条(D)0条解析:可将a,b通过平移相交于点P,如图所示,则BPE=17,EPD=163,则BPE的角平分线与直线a,b所成的角均为8.5,EPD的角平分线与直线a,b所成的角均为81.5.因为8.5981.5,所以与直线a,b所成的角均为9的直线l有且只有2条(直线c,d),故选B.18.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:ABEF;AB与CM所成的角为60;EF与MN是异面直线;MNCD.以上结论中正确结论的序号为.解析:还原成正方体如图所示,可知正确.ABCM,不正确.正确.MNCD.不正确.答案:19.如图,M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.其中真命题是.(填序号)解析:中,由过M与AB的平面与B1C1有且只有一个交点,设交点Q,则MQ与A1B1有且只有一个交点,且MQ即为满足题意的直线,故正确;中,因为AB,B1C1是异面直线,故通过平移可以共面,过平面外一点只有一条直线与平面垂直,故也正确;通过图象可知过M点有无数个平面与直线AB,B1C1都相交,故错;中,结合命题可知也是正 确的.答案:20.如图,E,F,G,H分别是三棱锥ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且=,=.(1)若=,判断四边形EFGH的形状;(2)若,判