函数的极限和运算法则hanshudejixianheyunshuanfazh.ppt

山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第二节 函数的极限和运算法则,一、数列极限的定义 数列 ： 按一定规律排列的一串数 称为数列，简记作 。数列也可作是定义在正整数集合上的函数 称为数列的通项。,问题：当项数无限增大时，数列的变化趋势？,例数列 当无限增大时， 趋于确定常数。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,例数列 数列各项的值随n增大交替取得1与1两数，而不是与某一数接近；,例3 数列2，4，6，8，2n，数列各项随n 的增大而增大，且无限增大 ；,例数列a，a，a，a，数列各项的值都相同。,定义1 当n无限增大时，数列 的通项 的值无限接近于某一确定的常数，则称当n趋于无穷大时数列 以a为极限，记作 ；这时称这个数列收敛；否则称它是发散数列。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,例5 观察下列数列的变化趋势，并写出收敛数列的极限,(1),(2),分析：(1)当n依次取1，2，3，4，5，等正整数时，数列的各项依次为 ， ，当 ，,；,(2) 当n依次取1，2，3，4，5，等正整数时，数列各项依次为1，0，1，0，1，当 不能无限地趋于一确定的常数a，因此数列极限不存在。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,解：(1),(2) 数列 的极限不存在，即数列发散。,二、数列极限的性质 定理1.1 如果一个数列有极限，则此极限是唯一的。 定理1.2 将一个数列添加或减少有限项，不影响其极限是否存在，也不影响其极限值（如果极限存在）。,定理1.3 收敛的数列必有界；有界的数列不一定收敛。 例如 数列 都是有界的数列，但都是发散的。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,定理1.4 单调有界数列必有极限。 如：利用定理1.4 可证明重要数 收敛，其极限记为，即 。,定理1.5 数列极限的四则运算法则,假定 存在，则,(1),(2),(3),(4),;,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,例求极限,分析： 型，可用“抓大头法” 。,解,例求极限,分析：先求和，再求极限。,解：由,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,内容小结,1.数列极限的定义及应用； 2.收敛数列的性质； 惟一性，有界性 3.单调有界准则； 4.数列极限的四则运算法则。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,三 函数的极限,1. 时函数的极限,从函数的观点看，数列是下标变量的函数 数列以为极限可以叙述为：当自变量 ，相应的 函数 ，这种定义数列极限的思维方法也适合于 一般的函数 。,例（如图）当,0,x,y,y,函数,无限接近0，则称0为函数 当 时的极限。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,定义1 设函数 ，如果 无限增大时函数 无限趋近于某个固定的常数a ，则称x趋于 时，f(x)以a为极限，记作 。,注：直线ya为曲线yf(x)的水平渐近线。,两种特殊情况,若x取正值，且 无限增大时， 即,，f(x) 的值无限趋近于常数a。,若x取负值，且 无限增大时，即,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,f(x)的值无限趋近于常数a。,注：直线ya仍是曲线yf(x)的渐近线。,2. 时函数的极限,引例 讨论当 时，函数 的变化趋势。 解 此函数在处无定义，但是当 时，函数 因此当 函数 f(x)以2为极限。,总结：函数在某一点的极限与函数在该点处的函数无关。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,定义2 设函数f(x)在点 的附近（点 可以除外）有定义，如当 则 称A 为函数f(x) 当 x 时的极限，记作 或者,在 ，,的概念中，x是既从左侧趋,于 ，也是从右侧趋于,的情形，这就产生了左极限和右,极限。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,定义3 设函数=f(x)在点 的去心邻域内有定义，若当从的左（右）侧趋于 时，f(x)趋于A,则称f(x)当从的左（右）侧趋于 时收敛于,且称A为f(x)在点 的左（右）极限，记作 或,结论：,例1 设函数 讨论当 时，f(x)是否存在极限。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,解：根据单侧极限的定义,由于,。,。,时,函数f(x)的极限不存在。,四、极限的运算法则,定理 1.6,则,(1),若,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,(2),（K为常数）；,(3),;,(4),注：法则(1)、(3)可以推广到有限个具有极限的函数的和与积的情况且法则对于 情形也是成立。,例2 求,分析：属于 型，不能直接用四则运算法则求极限，但,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,用 除分子与分母，则可用极限的四则运算法则求得极限。,解：,总结：“抓大头法”常用于,例3 求极限,其中,m、n各为