自动控制原件课件第三章.ppt

第三章 线性系统的时域分析,主要内容：,第一节 典型输入信号 第二节 一阶系统的时域分析 第三节 二阶系统的时域分析 第四节 线性系统的稳定性和稳定判据,第一节 典型输入信号 （一）阶跃信号 阶跃信号的表达式为：,(3.1),图3-1 阶跃信号 图3-2 斜坡信号,当A=1时，则称为单位阶跃信号，常用1(t)表示，如图3-1所示。,（二）斜坡信号 斜坡信号在t =0时为零，并随时间线性增加，所以也叫等速度信号。它等于阶跃信号对时间的积分，而它对时间的导数就是阶跃信号。斜坡信号的表达式为：,(3.2),（三）抛物线信号 抛物线信号也叫匀加速信号，它可以通过对斜坡信号的积分而得。抛物线信号的表达式为：,图3-3 单位抛物线信号,图3-4 脉冲信号,（3.3）,当A =1时，则称为单位抛物线信号，如图3-3所示,（四）脉冲信号 单位脉冲信号的表达式为：,(3.4),(3.5),其图形如图3-4所示。是一宽度为 ，高度为1 的矩形脉冲，当 趋于零时就得理想的单位脉冲信号(亦称 函数) 。,（五）正弦信号 正弦信号的表达式为 :,（3.6）,其中A为幅值， 为角频率。,图3-5 正弦信号,第二节 一阶系统的时域分析,凡以一阶微分方程作为运动方程的控制系统统称为一阶系统。如图3-6（a）,一阶系统的传递函数为：,其方框图如 图3-6（b）、（c）,下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。,图3-6 一阶系统,图3-7 一阶系统的单位阶跃响应,一、单位阶跃函数作用下一阶系统的响应过程,当系统输入信号 时，系统的响应过程 称单位阶跃响应，其拉氏变换式为：,对上式取拉氏反变换，得：,由上式绘出一阶系统的单位阶跃响应如图3-7所示。,二、理想单位脉冲函数作用下一阶系统的响应过程,当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即,一阶系统的脉冲响应为：,一阶系统的脉冲响应 如图3-8,图3-8 一阶系统的脉冲响应,三、单位斜坡函数作用下一阶系统的响应过程,图3-9 一阶系统单位斜坡响应,设输入为单位斜坡函数，即 ，则输出的拉氏变换为：,对上式求拉氏反变换，得系统响应过程为：,一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为：,四、匀加速函数作用下一阶系统的响应过程,上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。,输入 时，输出C(S)为：,对上式取拉氏反变换得：,一阶系统跟踪匀加速输入的跟踪误差为：,表3-1一阶系统对典型输入信号的响应,等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。,(一)、系统的性能指标 系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况下， 对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量，如图3-10所示。 这时瞬态响应的性能指标有： 1.最大超调量sp响应曲线偏离稳态值的最大值， 常以百分比表示，即 最大超调量说明系统的相对稳定性。 2.延滞时间td响应曲线到达稳态值50%所需的时间，称为延滞时间。,第三节 二阶系统的时域分析,3. 上升时间tr它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。 4. 峰值时间tp响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义为峰值时间。 5. 调整时间ts响应曲线从零开始到进入稳态值的95%105%（或98%102%）误差带时所需要的时间，定义为调整时间。 6. 振荡次数N在调整时间内，响应曲线穿越稳态值 次数的一半定义为振荡次数。,（二）二阶系统的阶跃响应 在工程实际中，三阶或三阶以以上的系统，常可以近似或降阶为二阶系统处理。,图3-10是典型二阶系统的结构图，它的闭环传递函数为,由上式可看出，z 和wn是决定 二阶系统动态特性的两个非常重 要参数，其中z 称为阻尼比，wn 称为无阻尼自然振荡频率.,（3-7）,图3-10 二阶系统方框图,例如图2-2中R-电路，其传递函数为 式中，无阻尼自然振荡频率 就是电路当R=0时的谐振频率；阻尼比,由式(3.7)描述的系统特征方程为 (3.8) 这是一个二阶的代数方程，故有两个特征方程根，分别为 显然，阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也就不同。,（3.9）,下面分别对二阶系统在01三种情况下的阶跃响应进行讨论。 1. 0z 1，称为欠阻尼情况 按式(3.7)，系统传递函数可写为 (3.10) 它有一对共轭复数根 (3.11) 式中 称为有阻尼振荡频率。,在初始条件为零，输入信号为单位阶跃信号r(t)=1(t)时，系统输出的拉氏变换为 对式(3.12)求拉氏反变换，则得系统的单位阶跃响应c(t)：,(3.12),(3.13),系统的误差则为 当t时，稳态误差e ()。,(3.14),它是一衰减的振荡过程，如图3-11所示，其振荡频率就是有阻尼振荡频率 ，而其幅值则按指数曲线（响应曲线的包络线）衰减，两者均由参数z和 决定。 (a)根分布 (b)单位阶跃响应 图3-11 欠阻尼情况(0z 1),2. z =0 无阻尼情况 若z =，称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭虚根，即 此时单位阶跃响应为 它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡频率wn 。当系统有一定阻尼时，wd 总是小于wn 。,s1,2= jwn,(3.15),(3.16),3. z =，称为临界阻尼情况 此时系统有两个相等的实数特征根： s1= s 2= -wn 系统输出的拉氏变换为 取C(s)的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为,(a)根分布 (b)单位阶跃响应 图3-12 临界阻尼情况(z =),响应曲线如图3-12所示，它既无超调，也无振荡，是一个单 调的响应过程。,4. z ，称为过阻尼情况 当阻尼比z 时，系统有两个不相等的实数根： (3.27) 对于单位阶跃输入，C(s)为 (3.28) 将此式进行拉氏反变换，从而求得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应为 (3.29),图3-13表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。显然响应曲线无超调，而且过程拖得比z =时来得长。,(a)根分布 (b)单位阶跃响应 图3-13 过阻尼情况(z 1),根据以上分析，可得不同z值下的二阶系统单位阶跃响应 曲线族,如图3-14所示。由图可见，在一定z值下,欠阻尼系统 比临界阻尼系统更快地达到稳态值，所以一般系统大多设计 成欠阻尼系统。,5. -1 z 0时,二阶系统的单位阶跃响应：,由于阻尼比为负，因此指数因子 具有正的幂指数，因而具有发散正弦振荡形式。,图3-14 二阶系统单位阶跃响应,（三）二阶系统的脉冲响应 当输入信号为单位脉冲信号d (t)，即R(s)=时，二阶系统单位脉冲响应的拉氏变换为 对式(3.30)求拉氏反变换，得 可见，系统传递函数的拉氏反变换就是系统的单位脉冲响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统的特征。,(3.31),(3.30),由式(3.31)，无阻尼脉冲响应: 对于欠阻尼情况(01)，有,图3-15表示不同z值时的单位脉冲响应曲线。 图3-15 二阶系统单位脉冲响应,（四）二阶系统的瞬态响应性能指标 通常，工程实际中往往习惯把二阶系统调整为欠阻尼过程，因为此时系统的响应较快，且平稳性也较好。 对于单位阶跃输入作用下的欠阻尼系统，有： 1. 上升时间tr 其中： 可见，要使系统反应快，必须减小tr。因此当z一定，wn必须加大；若wn为固定值，则z越小，tr也越小。,2. 峰值时间tp 上式表明，峰值时间tp与有阻尼振荡频率wd成反比。当wn一定, z越小，tp也越小。,3. 最大超调量sp 最大百分比超调量 由上式可见，最大百分比超调量完全由z决定，z越小，超调量越大。当z =时，sp %= 100%，当z =时，sp % =。sp与z的关系曲线见图3-16。,图3-16 sp与z的关系,4. 调节时间ts 根据定义可以求出调节时间ts，如图3-17所示。图中T=1/zwn ，为c(t)包络曲线的时间常数，在z =0.69(或0.77)，ts有最小值，以后ts随z的增大而近乎线性地上升。图3-17中曲线的不连续性是由于在z虚线附近稍微变化会引起ts突变造成的，如图3-18所示。 ts可由下式求得 或0.02,图3-17 ts与z 的关系 图3-18 z稍微突变引起的ts突变,当z 0.9时，则 (按到达稳态值的95%105%计) 或 (按到达稳态值的98%102%计) 由此可见, z wn大，ts就小，当wn一定，则ts与z成反比，这与tp，tr与z的关系正好相反。,振荡次数N可以根据,5.振荡次数N的计算,计算，其中 Td为有阻尼振荡周期。,0.02,0.05,总结：,根据以上分析，如何选取z和wn来满足系统设计要求，总结几点如下： (1) 当wn一定，要减小tr和tp，必须减少z值，要减少ts则应增大zwn值，而且z值有一定范围，不能过大。 (2) 增大wn ，能使tr，tp和ts都减少。 (3) 最大超调量sp只由z决定, z越小，sp越大。所以，一般根据sp 的要求选择z值，在实际系统中，z值一般在0.50.8之间.,例：已知二阶系统的闭环传递函数为,其中,试计算系统单位阶跃响应的特征量 和N。,例：已知系统的方框图如图319所示。要求系统具有性能指标： ， 试确定系统参数K和A，并计算单位阶跃响应的特征量 及N。,例：已知系统方框图如图320所示。试分析 （1）该系统能否正常工作？ （2）若要求 ，系统应如何改进。,第四节 反馈系统的稳态误差,稳态误差是对系统精度的一种衡量，它表达了系统实际输出值与希望输出值之间的最终偏差，系统对典型输入信号（包括扰动信号）作用下的稳态误差要求是最基本的要求。,本节主要内容：是研究具有 不同结构或不同传递函数的系统在不同的输入信号作用下产生的稳态误差，以及系统静特性不稳定或参数变化对系统稳态响应的影响，相应的如何降低系统的稳态误差。,一、 稳态误差的概念,如图3-21所示，对于单位反馈系统，稳态误差定义为：,表示稳态时系统实际输出值与希望输出值间的偏差。,如图3-22所示，对于非单位反馈系统，稳态误差定义为：,容易求得，误差信号e(t)与输入信号r(t)之间的传递函数为：,根据终值定理，稳定系统的稳态误差为：,由上式可知，稳态误差与输入信号和系统的参数、结构有关。,图3-23(a),(b),(c),示出某一系统在不同典型输入信号作用下的响应曲线：,图3-23 不同典型信号作用下的稳态误差,二、 稳态误差的计算,控制系统的开环传递函数为：,系统类型常按其开环传递函数中串联积分环节的数目来分： 当N=0，1，2，时，则分别称之为0型，1型，N型系统。 增加型号数，可使系统精度提高，但对稳定性不利，实际系统中N2。,（1）单位阶跃输入时的稳态误差 设系统输入为单位阶跃信号， 系统的稳态误差为：,令：,Kp定义为位置误差系数，因此：,对于0型系统，N=0，则：,对于1型或1型以上的系统，N1，则：,由上述分析可知，由于0型系统中没有积分环节，对阶跃输入的稳态误差为一定值，称为有差系统。,对于实际系统，通常允许存在稳态误差，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则系统必须是1型或1型以上，即在前向通道中必须具有积分环节。,（2）单位斜坡输入时的稳态误差 设系统输入为单位斜坡信号， 系统的稳态误差为：,令：,Kv定义为速度误差系数，所以：,对于0型系统，N=0，则：,对于1型系统，N=1，则：,对于2型或高于2型系统，N2，则：,以上表明，稳态误差取决于系统的积分器个数，N=0稳态误差为 ，N=1稳态误差为1/K，N2则稳态误差为0.,（3）单位抛物线信号输入时的稳态误差,令：,Ka定义为加速度误差系数，所以：,对于0型或1型系统，N=0或N =1，则：,对于2型系统，N=2，则：,对于3型或3型以上系统，N3，则：,控制系统常用其类型数和稳态误差系数来描述，我们将以上三种输入下的稳态误差情况总结于下表3-4,例: 已知两个系统如图3-24所示，当参考输入 r(t)=4+6t+3t2 时，试分别求出两个系统的稳态误差。,解： 系统（a）为1型系统，其Ka=0，不能紧跟r(t)中的3t2分量，所以：,系统(b)为2型系统，其Ka=K=10/4，所以：,（a）1型系统,三、 主扰动输入引起的稳态误差,假设主扰动N(s)的作用点如图3-25所示，分析它对输出或稳态误差的影响。,因为：,由于研究N(s)的影响，故可认为R(s)=0，所以：,式中 为输出与扰动之间的传递函数。误差信号与 扰动信号之间的关系为：,稳态时：,由此可见，扰动作用点以前的系统前向通道G(s)中的放大系数愈大，则由扰动引起的稳态误差就愈小，为了降低主扰动引起的稳态误差常采用增大扰动点以前的前向通道放大系数。,四、关于降低稳态误差问题,降低稳态误差的措施：,增大系统开环放大系数可增强系统对参考输入的跟随能力；增大扰动作用点前向通道放大系数可降低扰动引起的稳态误差