浙江专用高考数学复习第九章平面解析几何9.6双曲线讲义含解析.docx

9.6双曲线最新考纲考情考向分析了解双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质，了解直线与双曲线的位置关系.主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点.题型为选择、填空题.1.双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)概念方法微思考1.平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定.当2a|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线.2.方程Ax2By21表示双曲线的充要条件是什么？提示若A0，B0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A0，表示焦点在y轴上的双曲线.所以Ax2By21表示双曲线的充要条件是AB0，b0，二者没有大小要求，若ab0，ab0，0ab0时，1e0时，e(亦称等轴双曲线)，当0a.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).()题组二教材改编2.P61T1若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.B.5C.D.2答案A解析由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为0，即bxay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.3.P61A组T3已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A.xy0B.xy0C.x2y0D.2xy0答案A解析椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以，即a44b4，所以ab，所以双曲线C2的渐近线方程是yx，即xy0.4.P62A组T6经过点A(4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.答案1解析设双曲线的方程为1(a0)，把点A(4，1)代入，得a215(舍负)，故所求方程为1.题组三易错自纠5.已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(1，3) B.(1，)C.(0，3) D.(0，)答案A解析方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案D解析由条件知yx过点(3，4)，4，即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.故选D.7.(2018浙江省镇海中学模拟)双曲线C：y21的渐近线方程为_，设双曲线1(a0，b0)经过点(4，1)，且与双曲线C具有相同的渐近线，则该双曲线的标准方程为_.答案y1解析双曲线y21的渐近线方程为yx；与y21具有相同的渐近线的双曲线方程可设为y2m(m0)，因为该双曲线经过点(4，1)，所以m123，即该双曲线的方程为y23，即1.题型一双曲线的定义例1(1)已知定点F1(2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆答案B解析如图，连接ON，由题意可得|ON|1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，|MF2|2.点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|PF1|，|PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2|F1F2|，由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.答案解析由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，则cosF1PF2.引申探究1.本例(2)中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|sin602.2.本例(2)中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“0”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，0，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系.跟踪训练1(2016浙江)设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_.答案(2，8)解析如图，由已知可得a1，b，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|m，则|PF1|m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m23) D.1(x4)答案C解析由条件可得，圆与x轴的切点为T(3，0)，由相切的性质得|CA|CB|TA|TB|8263).(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：虚轴长为12，离心率为；焦距为26，且经过点M(0，12)；经过两点P(3，2)和Q(6，7).解设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0).由题意知，2b12，e，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.双曲线经过点M(0，12)，M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.双曲线的标准方程为1.设双曲线方程为mx2ny21(mn0).解得双曲线的标准方程为1.思维升华求双曲线标准方程的方法1.定义法根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：(1)c2a2b2；(2)双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.2.待定系数法(1)一般步骤判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；设：根据中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程；列：根据题意，列出关于a，b，c的方程或者方程组；解：求解得到方程.(2)常见设法与双曲线1共渐近线的双曲线方程可设为(0)；若双曲线的渐近线方程为yx，则双曲线方程可设为(0)；若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为1(mn0)；与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(b2kb0)有共同焦点的双曲线方程可设为1(b20，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1B.1C.1D.1答案B解析由yx，可得.由椭圆1的焦点为(3，0)，(3，0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B.题型三双曲线的几何性质命题点1与渐近线有关的问题例3过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆O：x2y2a2的两条切线，切点为A，B，双曲线左顶点为C，若ACB120，则双曲线的渐近线方程为()A.yxB.yxC.yxD.yx答案A解析如图所示，连接OA，OB，设双曲线1(a0，b0)的焦距为2c(c0)，则C(a，0)，F(c，0).由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则ACOBCOACB12060.因为|OA|OC|a，所以ACO为等边三角形，所以AOC60.因为FA与圆O切于点A，所以OAFA，在RtAOF中，AFO90AOF906030，所以|OF|2|OA|，即c2a，所以ba，故双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即yx.命题点2求离心率的值(或范围)例4(1)(2018丽水、衢州、湖州质检)已知F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，满足PF2F1，连接PF1交y轴于点Q，若|QF2|c，则双曲线的离心率是()A.B.C.1D.1答案C解析设O为坐标原点，由题意可得，PF2x轴，OQPF2，所以Q为PF1的中点，易知F2(c，0)，因为|QF2|c，所以|OQ|c，又|OQ|PF2|，所以|PF2|2|OQ|2c，所以|PF1|2c，根据双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a，即2c2c2a，所以e1.故选C.(2)(2018浙江省绍兴市适应性考试)如图，已知双曲线C：1(a0，b0)的左焦点为F，A为虚轴的一个端点.若以A为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点B，且t(tR)，则该双曲线的离心率为()A.2B.C.D.答案D解析由题图知F(c，0)，A(0，b)，渐近线方程为yx.由已知得A，B，F三点共线，且AFOB.所以点F到渐近线OB的距离为db，|AF|，又由BOFOAF，得|FO|2|FB|FA|.即c2b，即c4b2(c2b2)，则c4(c2a2)(2c2a2)，整理得c43a2c2a40，即e43e210，解得e2.所以该双曲线的离心率e，故选D.思维升华1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线1(a0，b0)或1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令0，得yx；或令0，得yx.反之，已知渐近线方程为yx，可设双曲线方程为(a0，b0，0).2.求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法求a，b，c的值，由1直接求e.列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.(2)双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k.跟踪训练3(1)已知点F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|2|OP|，|PF1|3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围是()A.(1，) B.C.D.答案C解析由|F1F2|2|OP|，可得|OP|c，故PF1F2为直角三角形，且PF1PF2，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2.由双曲线的定义可得|PF1|PF2|2a，则|PF1|2a|PF2|，所以(|PF2|2a)2|PF2|24c2，整理得(|PF2|a)22c2a2.又|PF1|3|PF2|，即2a|PF2|3|PF2|，可得|PF2|a，所以|PF2|a2a，即2c2a24a2，可得ca.由e，且e1，可得10，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A，若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A.B.4C.D.答案A解析因为ABF2为等边三角形，所以不妨设|AB|BF2|AF2|m，因为A为双曲线右支上一点，所以|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a，因为B为双曲线左支上一点，所以|BF2|BF1|2a，|BF2|4a，由ABF260，得F1BF2120，在F1BF2中，由余弦定理得4c24a216a222a4acos120，得c27a2，则e27，又e1，所以e.故选A.离心率问题离心率是椭圆、双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法.例1已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点.若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则M到直线l的距离d，1b0，b0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，且PF1PF2，若PF1F2的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为()A.1B.C.D.1答案C解析由对称性不妨设点P在第一象限，如图，由题意设PF1F2的内切圆切三边于G，D，E三点，则|PG|PE|，|GF1|DF1|，|EF2|DF2|.又|PF1|PF2|2a，则|GF1|EF2|DF1|DF2|2a，设D(x0，0)，则x0c(cx0)2a，即x0a，所以切点D为双曲线的右顶点，|PF1|GP|GF1|DF1|cac，|PF2|PE|EF2|DF2|cac，在RtPF1F2中，由勾股定理得22(2c)2，整理得4c24ac5a20，则4e24e50，解得离心率e(舍负)，故选C.1.(2018浙江)双曲线y21的焦点坐标是()A.(，0)，(，0) B.(2，0)，(2，0)C.(0，)，(0，) D.(0，2)，(0，2)答案B解析双曲线方程为y21，a23，b21，且双曲线的焦点在x轴上，c2，即该双曲线的焦点坐标为(2，0)，(2，0).故选B.2.已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为()A.xy0B.xy0C.xy0D.2xy0答案C解析双曲线的方程是1(a0，b0)，双曲线的渐近线方程为yx.又离心率e2，c2a，ba.由此可得双曲线的渐近线方程为yxx，即xy0.故选C.3.已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若2，且|4，则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1D.1答案D解析不妨设B(0，b)，由2，F(c，0)，可得A，代入双曲线C的方程可得1，即，.又|4，c2a2b2，a22b216，由可得a24，b26，双曲线C的方程为1，故选D.4.设F1，F2分别为双曲线1的左、右焦点，过F1引圆x2y29的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|等于()A.4B.3C.2D.1答案D解析连接PF2，OT，则有|MO|PF2|(|PF1|2a)(|PF1|6)|PF1|3，|MT|PF1|F1T|PF1|PF1|4，于是有|MO|MT|1，故选D.5.已知双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使e，则的值为()A.3B.2C.3D.2答案B解析由题意及正弦定理得e2，|PF1|2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2，|PF1|4，|PF2|2，又|F1F2|4，由余弦定理可知cosPF2F1，|cosPF2F1242.故选B.6.已知双曲线1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则APF周长的最小值为()A.4B.4(1)C.2() D.3答案B解析由题意知F(，0)，设左焦点为F0，则F0(，0)，由题可知APF的周长l为|PA|PF|AF|，而|PF|2a|PF0|，l|PA|PF0|2a|AF|AF0|AF|2a22444(1)，当且仅当A，F0，P三点共线时取得“”，故选B.7.已知离心率为的双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，则双曲线的实轴长是()A.32B.16C.84D.4答案B解析由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线yx上，由题意可知|F2M|b，所以|OM|a.由16，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.8.已知双曲线C1：1(a0，b0)，圆C2：x2y22axa20，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的范围是()A.B.C.(1，2) D.(2，)答案A解析由双曲线方程可得其渐近线方程为yx，即bxay0，圆C2：x2y22axa20可化为(xa)2y2a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径ra，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c24b2，又知b2c2a2，所以c24(c2a2)，即c2a2，所以e1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为，故选A.9.双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为，则该双曲线的标准方程为_，渐近线方程为_.答案1yx解析由2a4，得a2，c2，b2，所以双曲线的标准方程为1，渐近线方程为yx.10.已知F1，F2分别是双曲线x21(b0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|2且F1AF245，延长AF2交双曲线的右支于点B，则F1AB的面积等于_.答案4解析由题意知a1，由双曲线定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|.由题意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|，|BA|BF1|，BAF1为等腰三角形，F1AF245，ABF190，BAF1为等腰直角三角形.|BA|BF1|AF1|42，|BA|BF1|224.11.已知焦点在x轴上的双曲线1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是_.答案(0，2)解析对于焦点在x轴上的双曲线1(a0，b0)，它的焦点(c，0)到渐近线bxay0的距离为b.双曲线1，即1，其焦点在x轴上，则解得4m0，b0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，APQ的一个内角为60，求双曲线C的离心率.解设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，又APQ的一个内角为60，PAF30，PFA120，|AF|PF|ca，|PF1|3ac，在PFF1中，由余弦定理得|PF1|2|PF|2|F1F|22|PF|F1F|cosF1FP，即3c2ac4a20，即3e2e40，e(舍负).13.(2018湖州模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，AF1B90，AF1B的内切圆的圆心的纵坐标为a，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.D.答案A解析设内切圆的圆心M(x，y)，圆M分别切AF1，BF1，AB于S，T，Q，如图，连接MS，MT，MF1，MQ，则|F1T|F1S|，故四边形SF1TM是正方形，边长为圆M的半径.由|AS|AQ|，|BT|BQ|，得|AF1|AQ|SF1|TF1|BF1|BQ|，又|AF1|AF2|BF1|BF2|，Q与F2重合，|SF1|AF1|AF2|2a，|MF2|2a，即(xc)2y24a2，|MF1|2a，(xc)2y28a2，联立解得x，y24a2，又ya，故4a2，得e2.14.如图，已知F1，F2分别是双曲线x21(b0)的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2y21相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B|AB|，求b的值.解方法一因为|F2B|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2，连接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，所以cosF2F1A，sinF2F1A，所以A，将点A的坐标代入双曲线得1，化简得b64b55b44b340，得(b22b2)(b42b33b22b2)0，而b42b33b22b2b2(b1)2b21(b1)20，故b22b20，解得b1(负值舍去)，即b1.方法二因为|F2B|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2，连接AF2，则|AF2|2|AF1|4.连接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，所以cosF2F1A.在AF1F2中，由余弦定理得cosF2F1A，所以c232b，又在双曲线中，c21b2，所以b22b20，解得b1(负值舍去)，即b1.15.(2018浙江省联盟学校联考)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且交双曲线的右支于A，B两点，记AF1F2的内切圆半径为r1，BF1F2的内切圆半径为r2，若r1r231，则直线l的斜率为()A.1B.C.D.2答案C解析方法一当A在第一象限时，如图1，设AF1F2的内切圆O1分别切AF1，F1F2，F2A于点Q，P，N，则|AQ|AN|，|F1Q|F1P|，|F2P|F2N|，又|AF1|AF2|2a，即(|AQ|F1Q|)(|AN|F2N|)2a，|F1Q|F2N|2a，|F1F2|F2P|F2N|2a，即2c2|F2P|2a，|F2P|ca，P为双曲线的右顶点，同理，BF1F2的内切圆O2也切F1F2于双曲线的右顶点，连接O1P，O2P，则O1，P，O2三点共线，且O1O2F1F2.