（黄冈名师）高考数学核心素养提升练二十七5.3平面向量的数量积及应用举例理（含解析）新人教A版.docx

核心素养提升练二十七平面向量的数量积及应用举例(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则ab为()A.12B.8C.-8D.2【解析】选A.因为|a|cos=4,|b|=3,所以ab=|a|b|cos=34=12.2.如图,在圆C中,点A,B在圆上,则的值()A.只与圆C的半径有关B.既与圆C的半径有关,又与弦AB的长度有关C.只与弦AB的长度有关D.是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【解析】选C.如图,过圆心C作CDAB,垂足为D,则=|cosCAB=|2.所以的值只与弦AB的长度有关.3.在ABC中,若|2=+,则ABC是()A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形【解析】选D.依题意得|2=(+)+=|2+,所以=0,ABC是直角三角形.【变式备选】已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b与c垂直,则k=()A.-3B.-2C.1D.-1【解析】选A.因为a+2b与c垂直,所以(a+2b)c=0,即ac+2bc=0,所以k+2=0,解得k=-3.4.已知ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=,=(1-),R,若=-,则=()A.B.C.D.【解析】选A.因为=-,所以-=-|2-|2+=-4-4+2=-22+2-2,解得=.【一题多解】选A.如图,建立平面直角坐标系,设A(-1,0),B(1,0),C(0,),另设P(x1,0),Q(x2,y2),由=,得x1=2-1,由=(1-),得x2=-;y2=(1-),于是=(-1,(1-),=(2-1,-),由=-得:(-1)(2-1)-3(1-)=-,解得=.【变式备选】已知非零向量a,b的夹角为,且|b|=1,|b-2a|=1,则|a|=()A.B.1C.D.2【解析】选A.依题意得(b-2a)2=1,即b2+4a2-4ab=1,1+4|a|2-2|a|=1, 4|a|2-2|a|=0(|a|0),因此|a|=.5.(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则(+)的最小值是()A.-2B.-C.-D.-1【解析】选B.取BC的中点D,以BC为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),所以=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以+=(-2x,-2y),(+)=2x2-2y(-y)=2x2+2-,当P时,(+)取得最小值,最小值为-.【变式备选】已知平面向量a,b的夹角为120,且ab=-1,则|a-b|的最小值为()A.B.C.D.1【解析】选A.由题意可知-1=ab=|a|b|cos 120,所以2=|a|b|,即|a|2+|b|24,当且仅当|a|=|b|时等号成立,|a-b|2=a2-2ab+b2=a2+b2+24+2=6,所以|a-b|,所以|a-b|的最小值为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为_.【解析】因为m+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),所以由(m+n)(m-n)得(m+n)(m-n)=0,即(2+3)(-1)+3(-1)=0,解得=-3,则m=(-2,1),n=(-1,2),所以cos=.答案:7.(2019济南模拟)已知A(-1,cos ),B(sin ,1),若|+|=|-|(O为坐标原点),则锐角=_.【解析】利用几何意义求解:由已知可得,+是以OA,OB为邻边所作平行四边形OADB的对角线向量,-则是对角线向量,由对角线相等的平行四边形为矩形.知OAOB.因此=0,所以锐角=.答案:【一题多解】坐标法:+=(sin -1,cos +1),-=(-sin -1,cos -1),由|+|=|-|可得(sin -1)2+(cos +1)2=(-sin -1)2+(cos -1)2,整理得sin =cos ,于是锐角=.答案:8.如图,菱形ABCD的边长为2,BAD=60,M为DC的中点,若N为菱形内任意一点(含边界),则的最大值为_.【解析】由平面向量的数量积的几何意义知,等于|与在方向上的投影之积,所以()max=(+)=|2+|2+=9.答案:9三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知向量a=,b=(cos x,-1).(1)当ab时,求2cos2x-sin 2x的值.(2)求f(x)=(a+b)b在上的值域.【解析】(1)因为ab,所以cos x+sin x=0,所以tan x=-,2cos2x-sin 2x=.(2)因为a+b=.f(x)=(a+b)b=sin.因为-x0,所以-2x+,所以-1sin,所以-f(x),所以函数f(x)的值域为.10.已知向量a1=(1,-7),d=(1,1),对任意nN*都有an+1=an+d.(1)求|an|的最小值.(2)求正整数m,n,使aman.【解析】(1)设an=(xn,yn),由an+1=an+d得所以xn,yn都是公差为1的等差数列.因为a1=(1,-7),所以xn=n,yn=n-8,an=(n,n-8),|an|=4,|an|的最小值为4.(2)由(1)可知an=(n,n-8),am=(m,m-8),由已知aman得:aman=0,mn+(m-8)(n-8)=0,(m-4)(n-4)=-16因为m,nN+,所以或或或【变式备选】一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10 km/h,水流速度|v2|=2 km/h.要使船行驶的时间最短,那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论:当船逆流行驶,与水流成钝角时;当船顺流行驶,与水流成锐角时;当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时.请同学们计算上面三种情况,并判断是否当船垂直于对岸行驶时,与水流成直角时,所用时间最短【解析】设v1与v2的夹角为,合速度为v,v2与v的夹角为,行驶距离为d,则sin =所以当=90,即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.(20分钟40分)1.(5分)已知菱形ABCD的边长为6,ABD=30,点E,F分别在边BC,DC上,BC=2BE,CD=CF.若=-9,则的值为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.依题意得=+=-,=+,因此=-+,于是有62+62cos 60=-9,由此解得=3.2.(5分)(2018宜春模拟)已知向量与的夹角为,|=2,|=1,=t,=(1-t),|在t0时取最小值,当0t0时,cos 的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选D.建立如图所示的平面直角坐标系,则由题意有:A(2,0),B(cos ,sin ),由向量关系可得:=t=(2t,0),=(1-t)=(1-t)cos ,(1-t)sin ),则:|=|-|=,整理可得:|=,满足题意时:t0=-=-,据此可得三角不等式:0-,解得:-cos ,即cos 的取值范围是.3.(5分)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=,I2=,I3=,则()A.I1I2I3B.I1I3I2C.I3I1I2D.I2I1I3【解析】选C.根据题意,I1-I2=-=(-)=|cosAOB0,所以I1I3,作AGBD于G,又因为AB=AD,所以OBBG=GDOD,同理作BFAC于F,而OAAF=FCOC,所以|,而cosAOB=cosCOD,即I1I3,所以I3I10,所以nm.从而DBC45,又因为BCO=45,所以BOC为锐角.从而AOB为钝角.故I10,I30.又因为OAOC,OB1),=-2(21),从而I3=12=12I1,又因为121,I10,I30,所以I3I1,所以I3I1I2.【变式备选】已知圆O的半径为1,A,B是圆上的两点,且AOB=,MN是圆O的任意一条直径,若点C满足=+(1-) (R),则的最小值为_.【解析】由题意可得=(+)(+)=+(+)+,因为MN是圆O的任意一条直径,所以+=0,=-1,所以=+0-1=-1.要求的最小值问题就是求的最小值,因为=+(1-)(R),所以点C在直线AB上,则当C在AB中点时,OCAB,OC最小为等边三角形AOB的高线为,此时=,故的最小值为-1=-.答案:-4.(12分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),|=1,且AOC=x,其中O为坐标原点.(1)若x=,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值.(2)若x,向量m=,n=(1-cos x,sin x-2cos x),求mn的最小值及对应的x值.【解析】(1)设D(t,0)(0t1),当x=时,可得C,所以+=,所以|+|2=+(0t1),所以当t=时,|+|2取得最小值为,故|+|的最小值为.(2)由题意得C(cos x,sin x),m=(cos x+1,sin x),则mn=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1-sin.因为x,所以2x+.所以当2x+=,即x=时,mn=1-sin取得最小值1-,所以mn的最小值为1-,此时x=.5.(13分)已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),c=(-1,0).(1)求向量b+c的模的最大值.(2)设=,且a(b+c),求cos 的值.【解析】(1)b+c=(cos -1,sin ),则|b+c|2=(cos -1)2+sin2=2(1-cos ).因为-1cos 1,所以0|b+c|24,即0|b+c|2.当cos =-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的模的最大值为2.(2)若=,则a=.又由b=(cos ,sin ),c=(-1,0)得a(b+c)=(cos -1,sin )=cos +sin -.因为a(b+c),所以a(b+