平面向量的数量积及平面向量应用举例(5).ppt

第 3 讲 平面向量的数量积及平面向量应用举例,1理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向 量的垂直关系 5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题,1两个向量的夹角：已知两个非零向量a和b(如图)， 作 b，则AOB叫做向量a与b的夹 角其中两个向量夹角范围是 特别地， 时，a与b同向； 时，a与b反向. 如果a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直，记作ab. 2向量数量积的概念 (1)向量的数量积： (2)向量的投影：|b|cosa，b即 叫做b在a的方向上的 (3)数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在 这个向量方向上的投 影的乘积,0，,0,投影,ab|a|b|cosa，b,3向量数量积的性质：设a、b都是非零向量，e是单位向量，为a 与b(或e)的夹角则 (1)eaae|a|cos . (2)ab . (3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|， 特殊的，aa|a2|或者 (4)cos (0180) (5)|ab|a|b|. (6),ab0,4向量数量积的运算律 (1)abba(交换律) (2)ab(ab)a(b)(结合律) (3)(ab)cacbc(分配律) 注意：数量积运算不满足(ab)ca(bc)，因为左边表示与c共线的向 量，右边表示与a共线的向量，而c与a不一定共线 5设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为， 则ab 特别地，a2aaxy. ab ， ab ，,x1x2 y1y2,x1x2y1y20.,x1y2x2y10.,6若A(x1，y1)，B(x2，y2)，a，则 (平面内两 点间的距离公式) 联动思考 想一想：向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？ 答案：当a，b为非零向量时，ab的符号由夹角的余弦来确定；当 00；当90180时，ab0；当a与b至少有 一个为零向量或90时，ab0.,联动体验 1已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b上的投影为 ( ) 解析：设a和b的夹角为，|a|cos |a| 答案：C 2(2010新课标全国卷)a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b夹角的余弦值等于 ( ) 解析：设b(x，y)，则有2ab(8x,6y)(3,18)， 解得b(5,12)，故cosa，b 答案：C,3设向量a和b的长度分别为4和3，夹角为60，则|ab|的值为 ( ) 解析：|ab|2a22ab|b|2 a22|a|b|cos 60|b|2 162439 37 |ab| . 答案：C 4向量m(x5,1)，n(4，x)，mn，则x等于 ( ) A1 B2 C3 D4 解析：由mn0，得4(x5)x0，x4. 答案：D 5已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b| ，则向量a和向量b的数量 积ab_. 答案：3,【例1】 (1)在直角三角形ABC中，C90，AB5，AC4，求 ； (2)若a(3，4)，b(2,1)，试求(a2b)(2a3b) 解：(1)在ABC中，C90，AB5，AC4，故BC3， 且cos ABC ， 的夹角ABC， cos ABC53 9. (2)方法一：a2b(3，4)2(2,1)(1，6)， 2a3b2(3，4)3(2,1)(12，5)， (a2b)(2a3b)(1)12(6)(5)18. 方法二：(a2b)(2a3b)2a2ab6b2232(4)232 (4)16(2212)18.,考向一 平面向量的数量积的运算,反思感悟：善于总结，养成习惯 平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利 用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择 迁移发散 1已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin ) 若 1，求sin 2的值 解： (cos 3，sin )， (cos ，sin 3)， cos (cos 3)sin (sin 3)13(cos sin )1. sin cos ，两边平方得sin 2 .,考向二 利用平面向量的数量积解决垂直问题,【例2】 已知向量a(1,2)，b(2,1)，k，t为正实数，向量xa (t21)b， ykab，且xy，求k的最小值 解：a(1,2)，b(2,1)，ab0， t为正实数，k 2，当且仅当t1时，k2，k的最小值为2.,反思感悟：善于总结，养成习惯 1两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零因此，可以将证两向量 的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零 2向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直 的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关 长度、角度和垂直问题,迁移发散 2在直角ABC中，已知(2,3)，(1，k)，求k的值,考向三 平面向量的夹角与模的问题,反思感悟：善于总结，养成习惯 1求向量的夹角的两种表示方式 当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它 们的关系 若已知a与b的坐标，则可直接利用公式 来求夹角 2利用数量积求向量的模，可考虑以下方法 a|a|2a2aa； b|ab|2a22abb2； c若a(x，y)，则|a|,考向四 平面向量的数量积与三角交汇问题,【例4】 (2010青岛二模)设角A，B，C是ABC的三个内角，已知向量m(sin Asin C，sin Bsin A)，n(sin Asin C，sin B)，且mn. (1)求角C的大小； (2)若向量s(0，1)，t(cos A,2cos2 )，试求|st|的取值范围,反思感悟：善于总结，养成习惯 向量与三角结合是高考考查的重点，常以向量为载体，利用向量的数量积的运 算，向量的垂直等条件来进行三角的考查，复习时应重视,课堂总结 感悟提升 1向量数量积ab与实数a，b乘积ab不同由ab0，并不能得出a0或b 0，因为两非零向量夹角为90时，数量积也为0. 2可以用向量的数量积公式解决有关夹角和垂直问题，但要注意两种公式的灵活运 用 3利用向量垂直的充要条件研究几何中线与线垂直的问题，常建立适当的坐标系， 得到简单的向量坐标表示，减少运算量