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虚拟变量和变参数模型,作者：李国柱,石家庄经济学院经济系,虚拟变量和变参数模型,一、质的因素和变参数模型 二、数量因素与变参数模型 三、系统变参数模型 四、虚拟变量的特殊应用,一、质的因素与变参数模型,1、虚拟变量的作用： （1）可以描述和测量定性因素的影响 （2）能够正确反映经济变量之间的相互关系，提 高模型的精度。 （3）便于处理异常数据；当样本资料中存在异常数据时，一般有三种处理方式，一是在样本容量较大的情况下直接剔除异常数据；二是用平均数等方式修匀异常数据；三是设置虚拟变量（即将异常数据作为一个特殊的定性因素。,2、截距变动模型 （一）只包含一个虚拟变量的截距变动模型 如果回归模型中只包含一个质的因素，且这个因素仅有两种特征，则回归模型中只需引入一个虚拟变量 例：假定我们有一个包括城乡居民家庭收支状况的样本，并打算用这些数据估计消费函数。由于城乡居民家庭和农村居民家庭在消费水平上存在明显差异，所以“地区”这个质的因素是一个重要解释变量。用一个虚拟变量来表示，消费函数为：,用D1表示城镇居民家庭这一特征，D0表示农村居民家庭这一特征，并假定随机误差项满足经典回归假定。上式可写成,可以看出，二者有相同的斜率，但截距不同。,结合上例，我们给出虚拟变量模型的几个特性： 1、以“0”“1”取值的虚拟变量所反映的内容可以随意设定。在上例中，也可以指定D1时为农村居民家庭，而D0就必然为城镇居民家庭。,2、虚拟变量D0代表的特征或状态，通常用于说明基础类型。基础类型是对比的基础。 3、基础类型的截距系数 称为公共截距系数，系数 可称为差别截距系数。 4、如果一个回归模型有截距项，对于具有两种特征的质的因素，只需引入一个虚拟变量，如果引入两个虚拟变量，就会造成共线性的影响。 一般规则：如果一个质变量有m 种特征或状态，只需引入m-1 个虚拟变量。但如果回归模型不包含截距项，则m种特征要引入m个虚拟变量。,（二）包含多个虚拟变量的截距系数,如果一年有4个季节，就需要引入三个虚拟变量，即,注意：这里不能只设一个虚拟变量，如果那样的话，实际上隐含了一个假定：不同季度之间的差异程度是相同的，这显然不能合理区分四个季度的消费函数。,3截距和斜率同时变动模型,在很多情形下，质的因素不仅会改变模型的截距，还会同时影响模型的斜率。 例如，城镇居民家庭与农村居民家庭的消费函数不仅在截距上有差异，边际消费倾向可有也会有所不同。这时回归模型可记为：,上式可表示为：,若统计检验表明：,4、包含多个质的因素的虚拟变量模型,在很多情况下，往往有多个质的因素影响回归模型的截距或斜率。例如，在研究居民消费行为时，可以考虑的质的因素有户主的性别、户主的年龄、户主的文程度、地理区域等等。再如，除收入水平外，啤酒需求量还会受到季节、地区等我个质的因素影响。 如果假定食品需求受以下因素影响： 1、户主的收入水平 2、户主的性别、 3、户主的年龄：25岁以下；2550岁；50岁以上三组 4、户主的文化程度：初中、高中、大学,则食品消费函数需要引入5个虚拟变量,相应的回归模型为：,上例假定质的因素只影响回归模型的截距，由此不难推广到更一般的情形。,二、数量因素与变参数模型,在经济关系中常有这样的现象：当解释变量的值达到或超过 之前，与被解释变量Y存在某种线性关系；当解释变量的值达到或超过 以后，与解释变量的关系就会发生变化。此时，如果已知 ，我们就可以用虚拟变量来估计每一段的斜率。这就是所谓的分段线性回归。 例如，在1979年以前，我国居民的消费支出呈缓慢上升的趋势；从1979年开始，居民消费支出为快速上升趋势。显然，1979年是一个转折点，即 。于是，我们可以用以下模型描述我国居民在19551985年期间消费支出的变动趋势,于是两个不同时期的消费模型为,如果统计检验表明 不为零，则消费趋势在1979年后有明显改变。,例：下表列出了1988年我国城镇居民人均收入与彩电每百户拥有量的统计资料：,将我国城镇居民的彩电需求函数设成,在Eviews软件的命令窗口依次键入以下命令： CREATE U 8 建立工作文件 DATA Y X 输入需求量、收入数据 SACT X Y 绘制相关图 DATA D1 输入虚拟变量的值 （由于D是Eviews软件的保留字，所以将虚拟变量取名为D1；另外也可以采用GENR命令直接生成D1变量 GENR XDXD1 LS Y C X D1 XD,三、系统变参数模型,从前面几节的讨论可知，由于引入了虚拟变量，加厚发模型的截距或斜率不再是固定不变的。但是，参数的变化是离散的，而不是连续的。例如，在前面的例子中，我们假定在1979年之前和1979年之后两时候个时期城镇居民有不同的储蓄行为，也就是说，回归模型的截距和斜率并不是每年都发生变化。本部分介绍的系统变参数模型是虚拟变量应用的推广，它允许回归模型的截距和斜率随样本观测值改变而系统地改变。,1、截距变动模型,系统变参数模型可以分为截距变动模型和截距斜率同时变动模型。 设线性回归模型为：,注意到截距项比斜率系数多一个下标t。这就是说，回归模型的斜率在整修样本时期保持不变，但截距项则是随着时间的变化而改变的。假定 的变化是系统的（即非随机的），且这种变化完全由外生变量决定，则上式就是一系统变参数模型。为了表述方便，我们假定 由以下简单的辅助关系式决定：,式中 是常数，又称超参数，把辅助关系式代入原模型,用普通最小二乘法可对上式中的超参数及其它参数一并进行估计。不难看出，如果 为虚拟变量，上式就是一个虚拟变量模型。这时，模型的截距在 时分别是,可见，虚拟变量模型是系统变参数模型的一种特殊形式。,2.截距和斜率同时变动模型,我们也可以假定斜率系数与截距一样存在系统变动。例如，如果允许 作如下变动,则有,以上模型只假定 存在系统变化，在实际应用中，我们还可以假定更多的参数存在系统变化，甚至可以允许超参数本身不是常数。 用最小二乘法得到上式中的参数估计值后，即可对参数是否存在系统变化进行统计检验。如果 在统计上,不显著，就可以把 看作常数；反之，如果,在统计上显著地不为零，则认为 存在,系统变化。 显然，如果错误地把 当作常数，就等同于错误地解释了经济变量之间的关系。,例：中国城镇居民消费函数分析,四、虚拟变量的特殊应用,1、调整季节波动 利用季节或月份资料建立模型时，经常存在着季节波动。使用虚拟变量也可以反映季节因素的影响。例如，利用季度数据分析某公司利润y与销售收入x之间的相互关系时，为研究四个季度对销售利润的季节性影响，引入三个虚拟变量（设第1季度为基础类型）：,取利润函数为：,根据系数的t检验可以判断季节因素对利润是否存在着显著影响,2、检验模型结构的稳定性 利用不同的样本数据估计同一形式的计量经济模型，可能会得到不同的估计结果。如果估计的参数之间存在着显著差异，则称模型结构是不稳定的，反之则认为是稳定的。 模型结构的稳定性检验主要有两个用途：一是分析模型结构对样本变化的敏感性；二是比较两个或多个回归模型之间的差异情况，即分析模型结构是否发生了显著变化。 利用一些特定的统计检验（如Chow检验）可以检验模型结构的稳定性问题，使用虚拟变量模型也可以得到相同的检验结果。设根据两个样本估计的回归模型分别为：,将样本1和样本2的数据合并，估计以下模型：,利用t检验判断D、XD系数的显著性，可以得到四种检验结果 （1）两个系数均等于零，即 ，表明两个回归模型之间没有显著差异，称之为重合回归。 （2）D的系数不等于零，XD的系数等于零，即 表明两个回归模型之间的差异仅仅表现在截距上，称之为平行 回归。 （3）D的系数等于零，XD的系数不等于零，即 表明两个回归模型的截距相同，但斜率存在显著差异，称之为 汇合回归,(4)D、XD的系数均不等于零，即 。表明两个回归模型完全不同，称之为“相异回归 上述情况中，只有第（1）种情况模型结构是稳定的，其余情况都表明模型结构不稳定。,3、混合回归 建立计量经济模型时，有时能同时获得变量的时序数据和横截面数据。例如，建立我国城镇居民消费函数时，既可以使用19781998年的历年统计资料，又可以使用某一年（如1998年）按收入等级分组的横截面数据。又如建立我国工业生产函数时，可以使用历年的统计资料，也可以使用某一年全国各省区的资料。估计模型时，样本容量越大则估计误差越小。这就提出了一个问题：如果能同时获得变量的时序数据和横截面数据，是否可将它们混合成一个样本来估计模型？只要模型参数不随时间而改变，并且在各个截面之间没有差异，就可以使用混合样本估计模型。因此，在合并样本之前，需要比较使用不同样本估计的模型之间是否存在显著差异。,例：利用混合样本数据估计我国城镇居民