人教版九年级数学上册圆之垂径定理讲义（无答案）

第15讲 圆(一)知识要点梳理:(1)圆的定义: 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O” 圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形(2)圆的弦与弧的定义 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； 经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作”，读作“圆弧”或“弧AC”大于半圆的弧（如图所示叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）或叫做劣弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆（3）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线,也是中心对称图形，对称中心为圆心。（4）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（5）垂径定理推论： 推论1、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.推论2、圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及推论1中的三条可概括为四点：（1）经过圆心 （2）垂直弦 （3）平分弦（4）平分弧以上四点已知其中的任意两点，都可以推得其他两点.经典例题：例1设AB=3 cm，作图说明满足下列要求的图形 (1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形 (2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形例2.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中，点O是的圆心，其中弦CD=600m，E为上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径例3、如图所示，AB为的直径，弦CD与AB相交，AECD，BFCD，垂足分别为E、F，求证：CE=DF例4、如图，已知在中，AB=3cm,AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画圆弧交CB的延长线于点D，求CD的长。例5、如图所示，的直径AB=15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CECD交AB于E，DFCD交AB于F。（1）求证：AE=BF（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDFE的面积是否为定值？若是定值，请给证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。经典练习：1、已知O的半径r=2cm, 当OP 时，点P在O上；当OA=1cm时，点A在 ；当OB=4cm时，点B在 2.圆弧形拱桥的跨度是12米，拱高是4米，则拱桥圆弧所在圆的直径是 。133.已知的半径为2，弦AB长，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（ ）A.1 B、2cm C、 D、4.已知一条弦把圆周分成3：1的两部分，若半径为R，那么弦长为（ ）A、R B、2R C、 D、5.如图1 ，的半径为6cm，AB、CD为两弦，且ABCD，垂足为E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB的长为（ ）A、10cm B、8cm C、 D、6.有下列判断：直径是圆的对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所对的弧；圆的对称轴有无数条。其中正确的判断有（ ）A、0个 B、1个 C、2个 D、3个7.如图2，同心圆中，大圆的弦AD交小圆于B、C若AD=4,BC=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）A、3：2 B、 C、 D、5：48.等腰三角形腰长为4cm，底角为，则外接圆直径为（ ）A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm 9如图4，AB为O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_图5图4 10P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_； 最长弦长为_11如图5，OE、OF分别为O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_（只需写一个正确的结论）12如图，O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD长13有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，拱顶距水面不得小于3.5米,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由14如图，已知O1和O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M，CD=EF,O1M和O2M相等吗？为什么？课后练习：1如图1，如果AB为O的直径，弦CDAB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）ACE=DE B CBAC=BAD DACCD (1) (2) (3)2如图2，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）A4 B6 C7 D83如图3，在O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）AABCD BAOB=4ACD C DPO=PD4、已知P为内一点，且OP=d，如果的半径是r，那么过P点的最短的弦等于（ ）A、 B、C、 D、5、一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm,则该圆的半径是（ ）A、2.5或6.5 B、2.5 C、6.5 D、5或136、如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径,F为的中点，弦过且，则弦的长为多少？7、如图所示，已知的半径为10cm，P是直径AB上一点，弦CD过点P，CD=16cm，过点A和B分别向CD引垂线AE和BF，求AE-BF的值。(延长FO)8.O的直径为50cm，弦ABCD，