人教版九年级数学第24章圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系反证法讲义

合作探究探究点1(高频考点)点和圆的位置关系知识讲解设0的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P在圆外dr;点P在圆上d=r;点P在圆内d3cm点A在B外.BC=3cm,点C在B上，DB=52cmBC=3cm,点E在B外，点拨 判断点与圆的位置关系时，只需比较该点到圆心距离d与半径r的大小类题突破1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm(1)以点A为圆心、4cm为半径作A，则点B、C、D与A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作A,使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则A的半径r的取值范围是什么?答案 (1)AB=3cm4(cm),点C在A外。AD=4cm点D在A上.(2)ABADAC,满足条件的A的半径r的取值范围是3cmr180，这与三角形内角和定理相矛盾，.B,C不可能都为直角(2)当B,C都为钝角时，即90B180,90C180AB=AC,B=C180B +C180,这与三角形内角和定理相矛盾，B,C不可能都为钝角。(3)当B，C一个为直角，一个为钝角时，证法同(2).综合(1)(2)(3)可知B,C必为锐角点拨欲证B,C为锐角，用反证法证明，先假设B，C不是锐角，则B,C为直角或钝角。重点难点重难点1 点和圆的位置关系的判断(1)根据圆的定义可知:圆上各点到定点(圆心)的距离等于定长(半径);到定点的距离等于定长的点都在圆上(2)从画图的过程，我们可知道：圆内各点到圆心的距离都小于半径，反之，到圆心的距离小于半径的点都在圆内;圆外各点到圆心的距离都大于半径，反之，到圆心的距离大于半径的点都在圆外(3)点和圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离和半径之间的数量关系，也可以由数量关系判断点和圆的位置关系(4)注意“”读作“等价于”，“AB”具有两方面的含义:一方面表示“A=B”，另一方面表示“B=A”例1在RtABC中,C=90,D,E分别是AB,AC的中点,AC=6,BC=8,若以C为圆心、4为半径作圆，试判断点D,E与C的位置关系解析 判断点D,E与C的位置关系，只需比较CE,CD的长与日C半径的大小，答案如图:AC=6,BC=8,C=90AB=62+82=10又D,E分别是AB,AC的中点CE=3,CD=5又C的半径为4，点D在C外，点E在C内方法提示在直角三角形中，利用勾股定理等知识计算出点到圆心的距离，然后进行判断.类题突破1矩形ABCD中,AB=8,BC=3、5,点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心、PD为半径的圆,那么下列判断正确的是A.点B,C均在圆P外B.点B在圆P外,点C在圆P内C.点B在圆P内，点C在圆P外D.点B,C均在圆P内答案C点拨 AB=8,点P在边AB上，且BP=3AP AP=2,BP=6r=PD=(35)2+22=7PC=PB2+BC2=62+(35)2=9 PB=6r, 点B在圆P内，点C在圆P外。重难点2圆的确定(1)我们知道,经过一个点A作圆很容易，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出如图(1)所示的圆,这样的圆有无数个(2)如果要作经过两个点A,B的圆，那么就要以与点A,B距离相等的点为圆心，即以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径，就可以作出如图(2)所示的圆，这样的圆也有无数个(3)经过三点一定能画出一个圆吗?如图(3)所示,过不在同一条直线上的A、B、C三点距离相等的点为圆心，即AB、BC或AC任意两条线段垂直平分线的交点为圆心，以这一到点A或点B或点C的距离为半径作圆，这样的圆只能作一个例2如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于点C.交弦AB于点D,已知AB=24cm,CD=8cm(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹);(2)求(1)中所作圆的半径解析 求作此残片所在的圆，关键是确定圆心位置,然后确定半径.我们知道，不在同一直线上的三点确定一个圆，故再连接AC.作AC的垂直平分线，与CD的交点即为圆心,OA就为圆的半径答案(1)如上图所示(2)连接OA,设OA=OC=xCOAB,AB=24,CD=8AD=12,OD=x-8在RtAOD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2即x2=122+(x-8)2.解得x=13(cm)此残片所在的圆的半径为13cm方法归纳要确定残片所在圆的圆心，如能转化为求AB所在圆的圆心问题就会迎刃而解。要注意思维转移，同时学会用解方程的思想解决几何问题类题突破2 一条公路弯道处是一段圆弧AB,点O是这条弧所在圆的圆心，点C是AB的中点,0C与AB相交于点D.已知AB=120m,CD=20m,那么这段弯道的半径为A.200mB.2003m C.100m D.1003m答案C点拨 连接OA,由垂径定理求出AD的长，判断出AOD的形状，再设OA=r,利用勾股定理即可得出r的长重难点3三角形的外接圆和三角形的外心(1)经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做用形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等，而这个三角形叫做这个圆的内接三角形(2)注意:“接”是说明三角形的顶点与圆的关系，圆经过三角形的各顶点(或三角形的各顶点都在圆上)，而“内”“外”定相对位置关系，是以一个图形为准，说明另一个图形在它的里的或外面，如“圆的内接三角形“是以圆为准，说明三角形在它的内部.锐角三角形”是以圆为准，说明三角形在它的内部，直角三角形角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部，无论哪种三角形，它们的外心都是三角形两边垂直平分线的交点，它各顶点的距离相等，只要三华意两边垂直平分线的交点，它到三角形半径就确定了例3在ABC中，AB= AC=5且ABC的面积为12，则ABC外接圆的半径为解析 连接OB,OA,OA交BC于D,如图所示，设BC=l，AD=h则BD=12l，由题意得14l2+h2=2512lh=12+2得(12l+h)2=49，所以12l+h =7-2得(12l-h)2=1，所以12l+h= 1所以12l+h =712l-h= 1或12l+h =712l-h=- 1解得l=8h=3或l=6h=4在RtBOD中,OB=R,OD=(R-h),BD=12l所以R2=42+(R-3)2或R2=32+(R-4)2,解得R=256或R=258答案R=256或R=258规律总结本题考查三角形外接圆半径的求法，方法为作辅助线，放入直角三角形中,运用勾股定理计算类题突破3如图,ABC的外心坐标是_.答案(-2,-1)点拨ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点作图得:EF与MN的交点O即为所求的ABC的外心ABC的外心坐标是(-2,-1)重难点4反证法的应用(1)对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法(2)反证法的一般步骤是:假设命题的结论不成立从这个假设出发，经过推理论证,得出矛盾由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确反证法是一种重要的证明方法，在以后的学习中，将会进一步体会到它的价值例4求证:在同一平面内，一条直线和两条平行线中的一条相交，也必然和另一条相交，已知:如图所示，直线l1、l2、l3在同一平h-面内, l1l2且l3与l1交于点P.求证: l3与l2相交解析 先假设l3与l2相交不成立,即它的反面l3/ l2成立，然后从这个假设出发推下去，找出矛盾，从而说明l3/ l2不成立答案假设l3与l2不相交,那么l3/ l2因为已知l1/ l2,这就是说过直线l2外一点P有两条直线都和l2平行,这与“经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾，所以假设不成立,故要求证的原命题正确类题突破4 已知:如图，直线ac,b/c.求证:a/b答案 假设直线a,b不平行，那么它们一定相交如图，设交点为P,这样过点P就有两条直线a,b与直线c平行，这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾所以a/b点拨 利用反证法，先假设直线a,b不平行，然后再加以证明易错指导易错点1 对不在同一条直线上的三个点确定一个理解不透例1 下列命题错误的是( )A.经过三点可以画一个圆B.三角形的外心可能在三角形的外部C.任何一个三角形都有外接圆D.三角形的外心是三边垂直平分线的交点错解 B或C或D错因分析 对于过三点确定圆的条件理解不透彻，没有正确理解三角形的外接圆和外心的定义及性质正解A纠错心得 任意三个点可能在同一条直线上，也可能不在同一条直线上，由“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”可知A错误易错点2 根据点与圆的位置关系求d或r的值时出错例2已知点P到0的最短距离为4cm,最长距离为16cm,求O的半径错解 如图,过点P作0的直径AB.由题意，得PA=4cm,PB=16cm,AB=PB-PA=16-4=12(cm)，0的半径为6cm错因分析 错解只考虑了点P在圆外的情况，而忽略了点P在圆内的情况，从而导致了漏解正解 点P的位置应分两种情况讨论.(1)当点P在O外时，如图(1)所示，过点P作0的直径AB.由题意，得PA=4cm,PB=16cm,.AB=PB-PA=16-4=12(cm)，0的半径为6cm(2)当点P在0内时。如图(2)所示，过点P作0的直径AB 由题意得PA=4cm,PB=16cmAB=PA-PB=4+16=20(cm)0的半径为10cm综上所述, 0的半径为6cm或10cm纠错心得 本题没有给出图形，画图形时要考虑点P与圆位置关系，很显然点P不可能在圆上。因此，要分两种情况来计算圆的半径:一是当点P在圈外时;二