人教版八年级上册导学案：13.3 等腰三角形 讲义

第二节 等腰三角形 讲义一、课标导航二、核心纲要1.等腰三角形 (1)定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角 (2)性质两腰相等两底角相等（简称为等边对等角） 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） 等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在直线是对称轴注：若则是ABC的中线、角平分线、高线.证明题目中的写法：已知高线已知中线已知角平分线(3)判定有两条边相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）2等边三角形(1)定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形(2)性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于(3)判定三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形3直角三角形(1)定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形(2)性质有一个角是两锐角互余；如果一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半(3)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形4.等腰直角三角(1)定义：顶角为的等腰三角形叫做等腰直角三角形(2)性质顶角等于底角等于两直角边相等；轴对称图形；三线合一(3)判定顶角为的等腰三角形，底角为的等腰三角形5等腰三角形的构造(1)“角平分线十平行线”构造等腰三角形如下左图所示，OP平分则OCD是等腰三角形，如下右图所示，OP平分则OCD是等腰三角形(2)“角平分线十垂线”构造等腰三角形如下左图所示，已知AD是么BAC的平分线，ADIBC，得出等腰三角形(3)“角平分线十中线”构造等腰三角形如下中图所示，已知AD是ZBAC的平分线，D是BC中点，则ABC是等腰三角形(4)“中点十垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）（如下右图所示）(5)“平行十等腰”构造等腰三角形已知等腰ABC，过腰或底上作腰或底的平行线6等腰三角形存在性的确定如下图所示，在直线L上找一点C，使得ABC是等腰三角形以A为圆心，AB为半径画圆，交直线L于两点以B为圆心，AB为半径画圆，交直线L于两点作AB的中垂线交直线L于本节重点讲解：一个构造，一个确定，四个概念、性质和判定三、全能突破基 础 演 练1等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( )A过顶点的直线 B底边上的高 C底边的中线 D顶角平分线所在的直线2等腰三角形的一个内角是则另外两个角的度数分别为( )3(1)要使得ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的( )(2)下列条件能证明ABC为等腰三角形的是( )且AD平分于点D，且AD平分BC边于点D，且AD平分BACA只有 B只有 C只有 D均可(3)如图13 -21所示，在ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点0，给出四个条件：上述四个条件中，选择两个可以判定ABC是等腰三角形的方法有( )A2种 B3种 C4种 D6种4等腰三角形顶角为腰长是4cm，则三角形的面积为 5(1)已知点P在OA上，且点P关于直线OB的对称点是Q，则 (2)已知点P在AOB的内部，点和点P关于OA对称，点和点P关于OB对称，则三点构成的三角形是 角形，其周长为 6(1)如图13-2-2所示，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作交AB于点M，交AC于点N，若则线段MN的长为 (2)如图13-2-3所示，已知和的平分线相交于点则OEF的周长为 7.如图13-2-4所示，若为则BE的长为 8如图13-2-5所示，在ABC中，求的度数能 力 提 升9如图13-2-6所示，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，下列结论：其中完全正确的是( )A. B. C. D.10连接正五边形对角线交出一个正五边形则以图13-2-7中线段为边的三角形中，共有等腰三角形( )个11.如图13 -28所示，在等边三角形ABC中，与BE相交于点P，则APE的度数是( )12(1)如图13-2-9所示，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在 格点上，且ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有( )个(2)等边ABC，在平面内找一点P，使PBC、PAB、PAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有( )个 A.1个 B4个 C7个 D10个13(1)如图13 -2 -10所示，四边形ABCD中，则四边形ABCD中，最大的内角的度数是( )(2)如图13 -2 -11所示，已知0是四边形ABCD内一点，则的大小是( )14(1)等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm.则该等腰三角形的底边长为 (2)已知等腰三角形的两条边为10、16，那么它的周长等于 15(1)等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分成两部分的差为2cm，则腰长为 (2)已知ABC的周长为于点D，若ABD的周长为20，则AD的长为 (3)已知等腰三角形的周长为24，腰长为x，则x的取值范围是 16.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为则这个等腰三角形的顶角为 17.如图13 -2 -12所示，在ABC中，是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若ABC的面积为则图中阴影部分的面积为 18.如图13 -2 -13所示，已知在ABC中，的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F求证：19如图13 -2 -14所示，在ABC中，求证：20.如图13 -2 -15所示，已知ABC是等腰直角三角形，是ABC的平分线，DEIBC，垂足为D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形(2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由(3)如果求的长21.两个全等的含角的三角板ADE和三角板ABC按图13 -2 -16所示方式放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC.试判断EMC的形状，并说明理由22.如图13 -2 -17所示，在ABC中，平分于点D，且于点F，交BE于点H.(1)求证：(2)探究BH与CD的大小关系，并证明中 考 链 接23(1)如图13 -2 -18所示，在RtABC中，的垂直平分线DE交于BC的延长线于点F，若则EF的长是( )(2)如图13 -2 -19所示，若则24.如图13-2-20所示，ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AEBC.巅 峰 突 破25.如图132- 21所示，过边长为3的等边三角形ABC的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为 26数学课上，李老师出示了如下框中的题目小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况探索结论 当点E为AB的中点时，如图13-2-23 (a)所示，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“”，“”，“”或“=”）理由如下：如图13-2-23(b)所示，过点E作EFBC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）(3)拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED= EC.若ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）27(1)操作发现：如图13-2-24 (a)所示，D是等边三角形ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论 (2)类比猜想：如图13-2-24(b)所示，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？（直接写出结论） (3)深入探究 如图13-2-24(c)所示，当动点D在等边三角形A