人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程

合作探究探究点1 一元二次方程的定义情景激疑下列方程有什么特点？（1）；（2）；（3）.知识讲解通过化简后，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2，二次项系数也不是0的整式方程是一元二次方程.整式方程是指方程两边是关于未知数的整式的方程.典例剖析例1 判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，在题后的括号内打“”；如果不是，在题后的括号内打“”（x为未知数）(1)( )(2)( )(3)( )(4)( )(5)( )解析(1)因为是整式方程，所以这个方程可化简为0=0或的形式，而这两种形式都不符合一元二次方程的定义，因此，方程不是一元二次方程.(2)方程符合一元二次方程的定义，因此，方程是一元二次方程.(3)方程符合一元二次方程的定义，因此，方程是一元二次方程.(4)因为方程中含两个未知数，所以此方程不是一元二次方程.(5)当m=0时，此方程中不存在二次项，所以此方程不一定是一元二次方程.答案 (1) (2) (3) (4) (5)类题突破1 在方程，中，一定是一元二次方程的有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个答案 C点拨 一定是一元二次方程.方法提示判断一个方程不是一元二次方程，不能只看形式，要先化简，再看是否符合一元二次方程的定义.探究点2 元二次方程的一般形式 情景激疑通过变形，你能否把一个一元二次方程变成的形式？这种形式有什么作用？知识讲解一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理,都能化成如下形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式,其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项,叫做一次项系数；叫做常数项.一次项系数和常数项可取任意实数，二次项系数是不等于0的实数，这是因为当时，方程中就没有二次项， 所以，此方程就不是一元二次方程.典例剖析例2 写出一元二次方程中的二次项系数、一次项系数及常数项.解析 要确定二次项系教、一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，因为各项名称都是在方程为一般形式的前提下定义的.答案 去括号，得,移项、合并同类项，得方程的一般形式为.所以，方程的二次项系数是5，一次项系数是3,常数项是一1.类题突破2 把方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.答案 去括号,得.移项、含并同类项，得.其中二次项系数是5，一次项系数是36,常数项是-32.点拨 将方程整理成的形式，再确定二次项系数、一次项系数和常数项即可，注意每一项都包括它前面的符号.类题突破3 将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项.答案 去括号，得.移项、合并同类项，得.其中二次项是，二次项系数是2,一次项是2x，一次项系数是2,常数项是一4.点拨 利用完全平方公式和平方差公式先把化成的形式，再确定各项及对应的系数.探究点3(高频考点) 一元二次方程根的定义 情景激疑一元一次方程一定有解吗？若定有，有几个？一元二次方程呢？知识讲解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是这个一元二次方程的解.又因只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.典例剖析 例3 下列是方程的根是( )A. B. C. D.解析当时，原方程左边右边，满足一元二次方程根的定义；当时，原方程左边右边，满足一元二次方程根的定义，所给的其他的解代入均不符合要求.故选项D正确.答案 D类题突破4 下列是方程的根的是 ( )A. B. C. D.答案 B点拨 根据一元二次方程的根的定义，把选项中的值逐个代入方程，使方程左右两边相等的即为正确答案.类题突破5 若为关于x的一元二次方程的根，则的值为 ( )A.1 B.-1 C.2 D.-2答案 B点拨 因为关于x的一元二次方程的根，所以把代入方程得,所以，,又因，所以.探究点4 从实际问题中找等量关系，列一元二次方程 情景激疑九章算术有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何?”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？你能列出方程解答吗?知识讲解在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出朱知数，列出一元二次方程.典例剖析例1 某超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为350万元，求平均每年的增长率.（列出方程化为一般形式，不解答）答案 设平均每年的增长率为x,根据题意得.整理得.点拨 今年到后年间隔2年，问题所包含的相等关系为：今年的营业额（1+年平均增长率）2=后年的营业额.类题突破6 某地区开展“科技下乡“活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次，设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是_.答案 点拨 本题中的相等关系为：第一年培训人数+第二年培训人数+第三年培训人数=95万.列方程得.重点难点重难点1 一元二次方程概念的应用一元二次方程必须同时满足三个条件:整式方程,即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2.例1 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_.解析 因为方程是关于x的一元二次方程，所以m的值必满足所以所以.答案 方法提示一元二次方程应满足：未知数的最高次数是2,二次项系数不等于0.类题突破1 若是关于x的一元二次方程，则A. B. C. D.为任意实数答案 C点拨 判断一个方程是一元二次方程要注意二次项系数不能为0.重难点2 元二次方程的一般形式的应用 一元二次方程的一般形式是条件与一元二次方程有如下关系： 是一元二次方程.另外a，b，c的符号一定要弄正确，这是以后正确解方程的基础.例2 元二次方程化成一般形式为，试求(2a+b) 3c的值.解析 将原方程进行整理,从而得到关于a、b、c的方程组， 求出a、b、c的值再代入求值.答案 原方程整理为.解得类题突破2 当m=_时，关于x的方程是一元二次方程.答案 1点拨 因为方程已是最简形式，要使这个方程是一元二次方程，则所以m=1。易错警示这个问题容易忽略二次项系数，只注重二次项的未知数的次数是2.由一元二次方程的定义可知，当这两个条件同时满足时，此方程才是一元二次方程.重难点3 元二次方程根的应用 通过对一元二次方程的学习发现：一元一次方程有且只有一个实数解(根)，而一元二次方程有两个解(根),如： 因为x=2或x= 3都能使方程的左右两边相等，所以x=2和x=-3都是这个方程的根.记作，.(2) 元二次方程可化为，所以x+1=0，所以x= -1，规定记作，有两个相等的实数根.(3) 方程也是一元二次方程,因为在实数范围不存在实数x,使方程的左右两边相等，所以这个方程没有实数根.但是，它在复数范围内仍然有两个解(根)(进人高中阶段就能学到，现在知道即可).综上所述，一元二次方程若有解一定有两个解，但不一定有两个实数解.设是一元二次方程的两实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知量. 例3 关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为 ( )A. -1 B. 0 C. 1 D. -1或1解析 先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去.答案 A类题突破3 已知x=1是一元二次方程的一个根，则的值为_.点拨 将x=1代入方程，得，.类题突破4 已知x=1是一元二次方程的一个解，且，求的值.答案 把x=1代入方程，得，又，所以.点拨 因为，所以可以化简为，所以只要把x=1代入原方程确定a+b的值即可.归纳总结若，则是一元二次方程的一个根；反之，若是一元二次方程的一个根，则.重难点4 列一元二次方程 列出一元二次方程的关键是审清题意，辨明问题中的已知量和未知量,找出它们之间的数量关系，恰当地设出未知数.例4 如图所示，MN是一面长10m的墙，要用长24m的篱笆，围成一个一面是墙、中间隔着一道篱笆的矩形花圃ABCD,已知花圃的设计面积为，花圃的宽应当是多少？若设花圃的宽为，则所列方程应为_.（填一般形式）解析 设矩形花圃ABCD的宽AB为x m，那么它的长BC是.根据问题中给出的等量关系，得对方程.化为一般形式为.答案 类题突破5 根据下列问思列一元二次方程，并将方程化为一般形式.(1) 三个连续奇数的平方和是251,求这三个数； (2) 一块长方形花坛，长20m，宽8m，在它的四周有等宽的鹅卵石路，形成一个大长方形，其面积是花坛面积的1.8倍，求路的宽度；(3) 用一根长30 m的铁丝折成个斜边长13 cm的直角三角形，求这个三角形的直角边长.答案 (1) 解：设中间的奇数为x，则，化为-般形式.(2)解:设路的宽度为x m，则,化为一般形式,；(3)解：设一条直角边长为x cm,则另一条直角边长为，则，化为一般形式:.点拨 （1)设中间的数为x，然后表示出其他两个数，然后求平方和即可确定方程；(2)设道路的宽为x米,然后表示出改造后的长方形的长和宽,从而利用面积公式列出方程即可；(3)设出其中一条直角边长，然后表示出另一条直角边的 长，利用勾股定理列出方程即可.易错指导易错点1 对一元二次方程的定义理解不准确例1 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ( )A. B. C. D. 错解 A错因分析 由方程为一元二次方程，有，错解错在没有准确把握一元二次方程的定义，忽略了二次项系数不能为零的条件.正解 C纠错心得 如果一个方程为一元二次方程，既要保证二次项的次数为2，又要保证二次项系数不为零，二者缺一不可.易错点2 忽略一元二次方程的一般形式 例2 写出方程的