信号与系统离散时间系统与z变换分析法(二).ppt

1,信号与系统 (Signal & system) 教师：徐昌彪 ,2004-12-26,电路基础教学部,2,5.9 离散时间系统的Z变换分析法 5.9.1 零输入响应 5.9.2 零状态响应 5.9.3 全响应,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,zi,3,5.9.1 零输入响应(1) n阶系统,n ai y i = 0,(k + i ) = 0,对上式作Z变换，整理后得,Yzi ( z ) =,n i = 0,i 1 ai yzi (k )z i k k = 0 n ai z i i = 0,对Yzi(z)作Z反变换，可得yzi(k),电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,2z 2 7 z 3z z,Yzi ( z ) = 2 = ,y,4,5.9.1 零输入响应(2) 例：求离散时间系统的零输入响应 yzi (k ) y(k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = 0 已知yzi (0) = 2， zi (1) = 3 解：作Z变换 z 2 Yzi ( z ) yzi (0) yzi (1)z 1 5zYzi ( z ) yzi (0) + 6Yzi ( z ) = 0 代入已知条件，有 z 5z + 6 z 2 z 3 因此,yzi (k ) = 3 2k 3k,k 0,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,5,5.9.2 零状态响应(1) yzs (k ) = x(k ) * h(k ),Yzs ( z ) = X ( z ) H ( z ) n阶系统 n m ai y(k + i ) = b j x(k + j ) i =0 j =0,H ( z ) =,m j = 0 n i = 0,b j z j ai z i,Yzs ( z ) =,m j =0 n i = 0,b j z j ai z i, X ( z ) = H ( z ) X ( z ) 电路基础教学部,2004年12月26日7时51分, 2,1 k +1,k,6,5.9.2 零状态响应(2) 例：求离散时间系统的单位函数响应 h(k ) 和零状态响应 yzs (k ) y(k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = x(k + 2) 3 x(k ) 已知 x(k ) = U (k ),解：H ( z ) =,z 2 3 z 2 5z + 6,Yzs ( z ) = X ( z ) H ( z ) =,z z 2 3 z 1 z 5z + 6,作Z反变换得 h(k ) = (k ) + (2 3k 2k 1 )U (k 1) yzs (k ) = (1 2 + 3 )U (k ) 2,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,i,7,5.9.3 全响应(1),n阶系统,n m ai y(k + i ) = b j x(k + j ) ，作Z变换 i = 0 j = 0,Y ( z ) =,m b j z j j = 0 n ai z i = 0, X ( z ) +,n i = 0,i 1 m j 1 ai y(k )z i k b j x(k )z j k k = 0 j = 0 k = 0 n ai z i i = 0,Y ( z ) = Yzs ( z ) + Yzi ( z ) y(k ) = yzs (k ) + yzi (k ),电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,=,8,5.9.3 全响应(2),系统函数,H ( z ) =,bm z m + bm 1 z m 1 + L + b1 z + b0 an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0,零状态响应 零输入响应,Yzs = X ( z ) H ( z ),Yzi ( z ) =,n i = 0,i 1 ai yzi (k )z i k k = 0 n ai z i i = 0,n i = 0,i 1 m j 1 ai y(k )z i k b j x(k )z j k k = 0 j = 0 k = 0 n ai z i i = 0,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,y y,（,9,5.9.3 全响应(3) 例: 对如下离散时间系统 y(k + 2) 0.7 y(k + 1) + 0.1 y(k ) = 7 x(k + 2) 2 x(k + 1) 已知 x(k ) = U (k ) ， (0) = 9 ， (1) = 13.9 。 （1）求全响应 （2）求零输入响应，零状态响应，并由此求全响应 解： 1）求全响应 将差分方程两端作ZT z 2 Y ( z ) y(0) y(1)z 1 0.7 zY ( z ) y(0) + 0.1Y ( z ) = 7 z 2 X ( z ) x(0) x(1)z 1 2z X ( z ) x(0) 代入已知，整理后得,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,Y ( z ) = 2,10,5.9.3 全响应(4) 9z 3 + 4.27 z 2 8.27 z ( z 0.7 z + 0.1)( z 1) 作Z反变换得,y(k ) = 12.5 + 7 0.5k 10.5 0.2k,k 0,（2）求零输入响应响应，零状态响应，全响应 将差分方程两端作ZT z 2 Y ( z ) y(0) y(1)z 1 0.7 zY ( z ) y(0) + 0.1Y ( z ) = 7 z 2 X ( z ) x(0) x(1)z 1 2z X ( z ) x(0) 代入已知，整理后得,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,Yzi ( z ) = 2,7 z 2 2z z,Yzs ( z ) = 2 ,11,5.9.3 全响应(5) 2z 2 + 8.27 z z 0.7 z + 0.1 z 0.7 z + 0.1 z 1 作Z反变换得,yzi (k ) = 12 0.5k 10 0.2k yzs (k ) = (12.5 5 0.5k 0.5 0.2k )U (k ) y(k ) = yzi (k ) + yzs (k ) = 12.5 + 7 0.5k 10.5 0.2k 电路基础教学部,k 0 k 0 2004年12月26日7时51分,12,5.10 离散系统函数，系统稳定性判别 5.10.1 离散系统函数 5.10.2 系统稳定性判别,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,k,2,z ( z + 3),k 3,13,5.10.1 离散系统函数(1) 系统函数与单位函数响应是Z变换对 h(k ) H ( z ),x(k ) = (k ) yzs (k ) = h(k ) X ( z ) = 1 Yzs ( z ) = X ( z ) H ( z ) = H ( z ),h(k ) H ( z ),例： h(k ) = 2 U (k ),H ( z ) = ?,z z 2,H ( z ) = 2,h(k ) = ? 2 (3) U (k 3),电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,=,14,5.10.1 离散系统函数(2) 系统函数与差分方程 an y(k + n) + an 1 y(k + n 1) + L + a1 y(k + 1) + a0 y(k ) = bm x(k + m ) + bm 1 x(k + m 1) + L + b1 x(k + 1) + b0 x(k ) 在零状态下对上式两边作Z变换后，得,H ( z ) =,Yzs ( z ) bm z m + bm 1 z m 1 + L + b1 z + b0 X ( z ) an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,2z + 1 2z + 1,解： H ( z ) = 2 =,+,15,5.10.1 离散系统函数(3) 例：求系统 y(k + 2) + 3 y(k + 1) + 2 y(k ) = 2 x(k + 1) + x(k ) 的 单位冲激响应h(k ) 。 z + 3z + 2 ( z + 1)( z + 2),=, 1 3 z + 1 z + 2,得 h(k ) = (1)k 1 + 3 (2)k 1 U (k 1),电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,3 2,= 2,16,5.10.1 离散系统函数(4) 例: 试列写出描述离散时间系统的差分方程 已知 h(k ) = 2 (k ) + (3k 2k )U (k 1),解： H ( z ) = 2 +, z 3 z 2,2z 2 9z + 12 z 5z + 6,因此 y(k + 2) 5 y(k + 1) + 6 y(k ) = 2 x(k + 2) 9 x(k + 1) + 12 x(k ),电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,0,t,t,0,t,17,5.10.1 离散系统函数(5) H(z)的极点分布与h(k)的响应模式 j,系统不稳定 0,系统临界稳定不稳定 (单极点重极点),系统不稳定,0,t 0,0,t,t 系统稳定 0 0,t,0,0,t,t,系统不稳定,系统不稳定,零点对响应模式无影响，只影响响应的幅度与相位,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,18,5.10.2 系统稳定性判别(1) 稳定系统的含义 对于有界的激励产生有界的响应的系统称为稳定系统。 系统稳定性 稳定系统：H(z)的极点全部位于z平面单位圆内。 不稳定系统：H(z)的极点至少有一个位于z平面单位圆外，或 在单位圆上有重极点。 临界稳定系统：H(z) 的极点位单位圆上，且为单极点。 系统稳定的充要条件 H(z)的极点全部位于z平面单位圆内,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,D,19,5.10.2 系统稳定性判别(2),稳定系统性判别 H ( z ) = 裘利判别法,N ( z ) D( z ),若系统的特征方程为： ( z ) = an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0 = 0 则特征方程的根全部位于z平面单位圆内的充要条件是 D(1)0 (-1)nD(-1)0 裘利表（裘利阵列）中奇数行的第一个元素大于最后一 个元素的绝对值。 对于二阶系统，系统稳定的充要条件： a2|a0|、D(1)0、D(-1)0,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,20,5.10.2 系统稳定性判别(3) 裘利表（裘利阵列） D( z ) = an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0 = 0,第1行 an 第2行 a0 第3行 bn 1 第4行 b0 第5行 cn 2 第6行 c0 M 直到2n-3行,an 1 L a2 a1 L an 2 bn 2 L b1 b1 L bn 2 cn 3 L c0 c1 L cn 2 M M,a1 an 1 b0 bn 1,a0 an,bn1 = bn 2 = M cn 2 = cn 3 =,an a0 an a0 bn1 b0 bn1 b0,a0 an a1 an1 b0 bn1 b1 bn 2,M,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,s + 1,| z | 1,z =,s 1,s =,z 1,21,5.10.2 系统稳定性判别(4) 双线性变换判别法 D( z ) = an z n + an 1 z n 1 + L + a1 z + a0 = 0 令 z = ，则 | z | 1 Re( s) 0 s 1, D( z ) = 0 从而 反之亦然，即, D( z ) | s +1 = 0 Re( s) 0, D( s) = 0 Re( s) 0, D( s) | z +1 = 0 | z | 1,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,1 + z 1,2z 4,2z + 2z 1,z 2,6z 2z + 2,2,(2),22,5.10.2 系统稳定性判别(5) 例：离散系统函数如下，试确定系统是否稳定,(1) H ( z ) = 1 2z 1 + z 2 (3) H ( z ) = 2,(2) H ( z ) = 2,解：(1),D( z ) = z 2 2z + 1 = 0 z = 1（重极点） 系统不稳定 D( z ) = 6z 2z + 2 = 0 a2 = 6 | a0 |= 2,D(1) = 6 0 D(1) = 10 0 系统稳定 (3) D( z ) = 2z 2 + 2z 1 = 0 D(1) = 1 0 系统不稳定,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,23,5.10.2 系统稳定性判别(6) 例：离散系统的特征方程如下，试确定系统是否稳定 D( z ) = 2z 5 + 2z 4 + 3z 3 + 4z 2 + 4z + 1 = 0 解：D(1) = 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 1 0 (1)n D(1) = (1)n (2 + 2 3 + 4 4 + 1) 0,系统不稳定,第1行 第2行 第3行 第4行,2 1 3 6,2 4 0 5,3 4 2 2,4 3 5 0,4 1 2 2 6 3,第5行, 27 30 6,15,第6行,15, 6 30 27,M 电路基础教学部,M,M,2004年12月26日7时51分,24,5.10.2 系统稳定性判别(7) 例：离散系统的特征方程如下 D( z ) = z 2 + z + (2 K 1) = 0 试确定为使系统稳定的常数K的取值范围。 解：为使系统稳定，必须 a2 = 1 | a0 |=| 2 K 1 | D(1) = 1 + 1 + 2 K 1 0 D(1) = 1 1 + 2 K 1 0 即 0 0.5 K 0.5 因此 0.5 K 1,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,) +,25,5.10.2 系统稳定性判别(8) 或者，令 z = s + 1 ，有 s 1,D( z ) z = s +1 s 1,= (,s + 1 2 s + 1 s 1 s 1,+ (2 K 1) = 0,即 (2 K + 1)s 2 + (4 4 K )s + (2 K 1) = 0 为使系统稳定，必须 2 K + 1 0 4 4 K 0 2 K 1 0 因此 0.5 K 1,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,jkT,jkT,26,5.11 离散系统的频率响应特性(1) 定义 H ( z ) z = e jT = H (e jT ) =| H (e jT ) | e j ( )为离散系统的频率特性,| H (e jT ) | 为幅频特性 ( ) 为相频特性 (z) x(k ) = e yzs (k ) = x(k ) * h(k ) = n= ,H(z)在单位圆上收敛 yzs (k ) = e jkT H (e jT ) =| H (e jT ) | e jkT + ( ) x(n)h(k n) =| H (e jT ) | e jkT + ( ),由此表明：当一个无时限复指数信号 e,作用于线性系,统时，其零状态响应仍为同频率的指数信号，其幅度扩大 为原来的| H (e jT ) | 倍，相位增加了 ( ) 。,电路基础教学部,2004年12月26日7时51分,k,27,5.11 离散系统的频率响应特性(2) H (e jT ) =| H (e jT ) | e j ( ),x(k ) = e,jkT,(z),yzs (k ) = e jkT H (e jT ) =| H (e jT ) | e j kT + ( ),x(k ) = A,yzs (k ) = AH (1),x(k ) = A cos( 0 kT + ),yzs (k ) = A | H (e jT ) | cos0 kT + + ( ),x(k ) = A sin( 0 kT + ),yzs (k ) = A | H (e j0T ) | sin0 kT + + (0 ),条件1：H(z)在单位圆上收敛,x(k ) = a,yzs (k ) = H (a )a k,条件2：a在H(z)的收敛域内,电路基础教学