北邮随机信号分析与处理第1章习题解答.pdf

ftpftp服务器地址服务器地址 1 ftpftp: :/1010. .108108. .142142. .5757 用户名和密码均为：用户名和密码均为：sjxhfxsjxhfx 包括每次课的包括每次课的课件课件和和部分习题解答部分习题解答 1.21.2 2 设随机变量设随机变量 服从二项式分布服从二项式分布，其概率分布律为其概率分布律为 X (1)(0,1,2, ; 01) mmn m n P XmC ppmnp 求求 的均值和方差的均值和方差。 X 解：解： 由二项式分布与由二项式分布与（0 0，1 1）分布之间的关系分布之间的关系，上述二项式分布上述二项式分布 可看作可看作 个独立的参数为个独立的参数为 的的（0 0，1 1）分布之和分布之和 n p 因为因为（0 0，1 1）分布的均值为分布的均值为 ，方差为方差为 p(1)pp 因此上述二项式分布的均值为因此上述二项式分布的均值为 ，方差为方差为 np(1)npp 1.3 (1/2)1.3 (1/2) 3 设随机变量设随机变量 与与 满足以下函数关系：满足以下函数关系： YX()sin()Yg XX 其中其中 是已知变量是已知变量，求求 的概率密度的概率密度。 Y 解：根据函数解：根据函数 的值域的值域，显然有显然有 sin()YX1Y 因此因此，当当 时时，有有 1y ( )0 Y fy 当当 时时，有有 为多值函数为多值函数，包括包括 1y 1( ) gy 2 arcsin2, n xyn 21 arcsin2arcsin(21) , n xynyn 0, 1, 2,n 根据随机变量的函数的概率分布的性质根据随机变量的函数的概率分布的性质，得得 even odd (arcsin) ( )()(arcsin) ( arcsin) ( arcsin) n YXnX nn X n dxdyn fyfxfyn dydy dyn fyn dy 1.3 (2/2)1.3 (2/2) 4 evenodd ( )() (arcsin)( arcsin) (arcsin)( arcsin) n YXn n XX nn dx fyfx dy dyndyn fynfyn dydy 2 1 () 1 Xn n fx y 22 evenodd 11 (arcsin)( arcsin) 11 XX nn fynfyn yy 综合以上情况综合以上情况，得：得： 2 1 (),1 1( ) 0,1 Xn n Y fxy yfy y arcsin,even arcsin,odd n ynn x ynn 其中其中 1.51.5 5 设设 ，其中其中 ()Yg X 01 () ( ) 0() Axxx g x 其他 假定随机变量假定随机变量 的概率分布函数已知的概率分布函数已知，求求 的概率分布函数的概率分布函数。 XY 解：根据题意解：根据题意， 只有两个值可取：只有两个值可取： 或或 （离散随机变量离散随机变量） YA0 01 P YAP xxx 10 ( )() XX FxFx 01P YP YA 10 1( )() XX FxFx 因此因此， 的概率分布函数可写为的概率分布函数可写为 Y 10 10 ( )( )() () 1( )() ( ) YXX XX F yFxFxU yA FxFxU y 1.61.6 6 设函数设函数 为为 ( )g x () ( )0() () xcxc g xcxc xcxc 其中其中 为常数为常数，假定随机变量假定随机变量 的概率分布函数已知的概率分布函数已知， 求求 的概率分布函数的概率分布函数。 0c X ()Yg X 解：解： 为分段函数为分段函数，可根据函数定义分三种情况讨论如下：可根据函数定义分三种情况讨论如下： ( )g x ( (1 1) )当当 时时， 0y ( )()() Y F yP YyP Xyc() X Fyc ( (2 2) )当当 时时， 0y (0)(0)()( ) YX FP YP XcF c ( (3 3) )当当 时时， 0y ( )()() Y F yP YyP Xyc() X Fyc 其中其中，( (2 2) )和和( (3 3) )可合并为：当可合并为：当 时时， 0y ( )() YX F yFyc 最后得最后得 ()(0) ( ) ()(0) X Y X Fycy Fy Fycy 1.71.7 7 设函数设函数 为为 ( )g x (0) ( ) (0) xcx g x xcx 其中其中 为常数为常数，假定随机变量假定随机变量 的概率分布函数已知的概率分布函数已知， 求求 的概率分布函数的概率分布函数。 0c X ()Yg X 解：解： 为分段函数为分段函数，可根据函数定义分三种情况讨论如下：可根据函数定义分三种情况讨论如下： ( )g x ( (1 1) )当当 时时， yc ( )()() Y F yP YyP Xyc () X Fyc ( (2 2) )当当 时时， cyc ( )()(0) Y F yP YyP X ( (3 3) )当当 时时， yc ( )()() Y F yP YyP Xyc () X Fyc (0) X F 1.8 (1/2)1.8 (1/2) 8 设随机变量设随机变量 的联合概率密度为的联合概率密度为 (, )X Y 1 (,) ( , )2 0() y eyxx f x y 其他 求求 。 ( |)E Y X 解：解： 11 ( )() 22 xy X x fxe dyex | ( , ) () ( ) ( | ) 0() xy XY X Y X fx y eyx fx fy x yx 的边缘概率密度为的边缘概率密度为 X 条件概率密度为条件概率密度为 1.8 (2/2)1.8 (2/2) 9 | ( |)( | ) Y X E Y Xyfy x dy xy x y edy xy x ey e dy () xxx ex ee 1x 根据条件概率密度可得到条件均值为根据条件概率密度可得到条件均值为 1.9 (1/2)1.9 (1/2) 10 已知随机变量已知随机变量 在在 上服从均匀分布上服从均匀分布，随机变量随机变量 在在 上服从均匀分布上服从均匀分布，试求试求 X0, aY , X a ( (1 1) ) ( (2 2) ) ( |)(0)E Y Xxxa( )E Y 解：解： 条件概率密度条件概率密度 | 1 ( | )() Y X fy xxya ax ( |) 2 xa E Y X 由均匀分布的均值性质得由均匀分布的均值性质得 ( )( | )( ) X E YE Y x fx dx 由条件均值得到边缘均值为由条件均值得到边缘均值为 的边缘概率密度为的边缘概率密度为 1 ( )(0) X fxxa a 0 13 ( ) 24 a xa E Ydxa a X 因此因此 1.9 (2/2)1.9 (2/2) 11 ( | )( ) X E Y x fx dx ( )( ) Y E Yy fy dy 由条件均值得到边缘均值的详细推导过程：由条件均值得到边缘均值的详细推导过程： （均值定义均值定义） ( , ) XY yfx y dx dy （边缘概率密度定义边缘概率密度定义） | ( )( | ) XY X yfx fy x dx dy （乘法定理乘法定理） | ( )( | ) XY X fxy fy x dy dx （交换积分顺序交换积分顺序） 1.10 (1/2)1.10 (1/2) 12 设随机矢量设随机矢量 的联合概率密度为的联合概率密度为 (, )X Y 2() ( , )(0,1) axby f x yx y ab 计算计算：( (1 1) ) ；( (2 2) ) 。 (|1/4)E X Y ( |1/2)E Y X 解：解： ( (1 1) )由联合概率密度可得边缘概率密度为由联合概率密度可得边缘概率密度为 1 0 2()2 ( )( , )(01) Y axbyaby fyf x y dxdxy abab 因此因此，条件概率密度为条件概率密度为 | ( , )2() ( | )(0,1) ( )2 XY X Y Y fx yaxby fx yx y fyaby 条件均值为条件均值为 1 | 0 2 ()23 (| )( | ) 236 X Y x axbyaby E X Yx fx y dxdx abyaby 83 (|1/4) 126 ab E X Y ab 将将 代入代入，得得 1/4Y 1.10 (2/2)1.10 (2/2) 13 ( (2 2) )由联合概率密度可得边缘概率密度为由联合概率密度可得边缘概率密度为 1 0 2()2 ( )( , )(01) X axbyaxb fxf x y dydyx abab 因此因此，条件概率密度为条件概率密度为 | ( , )2() ( | )(0,1) ( )2 XY Y X X fx yaxby fy xx y fxaxb 条件均值为条件均值为 | ( |1/2)( |1/2) Y X E Y Xy fy xdy 将将 代入代入，得得 1/2X | 2 ( |1/2)(01) Y X aby fy xy ab 1 0 (2)34 66 y abyab dy abab 1.111.11 14 某设备的有效期某设备的有效期（按年计算按年计算）的分布函数为的分布函数为 /5 0(0) ( ) 1(0) X x x Fx ex 求：求：( (1 1) )该设备有效期的均值；该设备有效期的均值；( (2 2) )该设备有效期的方差该设备有效期的方差。 解：由分布函数的形式解：由分布函数的形式，可知该设备的有效期服从指数分布可知该设备的有效期服从指数分布 由指数分布的数字特征的性质由指数分布的数字特征的性质，得得 ()5E X ()25D X 1.121.12 设设 相互独立相互独立，且都服从均值为且都服从均值为0 0、方差为方差为1 1的标准的标准 正态分布正态分布，证明：证明： 11221233123 111 (),(2),() 263 YXXYXXXYXXX 123 ,X XX 也相互独立也相互独立，且都服从均值为且都服从均值为0 0、方差为方差为1 1的标准正态分布的标准正态分布。 解：先给出解：先给出 维正态随机变量的线性变换的概率分布的通用维正态随机变量的线性变换的概率分布的通用 表达式表达式 记记 1 2 N X X X X N 1 2 N Y Y Y Y 线性变换线性变换 YLX 为为 矩阵矩阵 LNN 15 1.121.12 假定假定 为满秩为满秩，得得 11 1 -1-1 1 ( )()() N NN N xx yy ffJf xx yy YXX yL yL y -1 xL yL 由多维随机变量的函数的求解表达式由多维随机变量的函数的求解表达式 维正态随机变量维正态随机变量 的概率密度为的概率密度为 NX 1 1/2 /2 11 ( )exp()() 2 (2 ) T N f XXXX X xxmKxm K -1-1 -1 () 1 () f f X X L yL L y L 得得 -11-1 1/2 /2 11 ( )exp()() 2 (2 ) T N f YXXX X yL ymKL ym KL 16 1.121.12 整理整理，得得 2 TT YXXX KLK LL KLLK检验：检验： 因此因此，有有 = YX mLm T YX KLK L -11-1 1/2 /2 -1111-1 2 /21/2 -1111-1 2 /21/2 2 /2 11 ( )exp()() 2 (2 ) 11 exp()()() 2 (2 )() 11 exp()()() 2 (2 )() 1 (2 )() T N TTT N TTT N N f YXXX X XXX X XXX X X yL ymKL