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文档简介

2.2 随机变量的数字特征,一、随机变量的数学期望,二、随机变量的方差,2.2 随机变量的数字特征,三、随机变量的矩与切比雪夫不等式,判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度,平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好,又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度,例如：,问题的提出：,在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。,考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小.,r.v.的平均取值 数学期望 r.v.取值平均偏离均值的情况 方差,例如：,一、随机变量的数学期望,引例,求该射手的平均成绩,此数值是对射手真实水平的综合评价，它是以概率为权重的加权平均，称为r.v.X的数学期望。,解：,定义：,注：,(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正平均值, 也称 均值.,(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 。,(3)如果D.r.v.只取有限多个值，EX一定存在。,试问哪个射手技术较好?,例 谁的技术比较好?,解：,平均起来甲射手每枪击中9.3环,乙射手每枪击中9.1环.因此甲射手的本领要高一些.,2.连续型随机变量的数学期望,定义,设顾客在某银行窗口等待服务的时间为 X(以分计),其概率密度为,试求顾客等待服务的平均时间?,解,因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.,例 顾客平均等待多长时间?,例 均匀分布,则有,结论: 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,3、随机变量函数的数学期望,定义,（1）概念,(2) r.v.函数的期望,解:,4、数学期望的性质,(3) 如果EX,EY存在，则E(X+Y)存在， 且E (X + Y ) = E (X ) + E (Y ) ；,二、随机变量的方差,-离差,-绝对离差,1. 方差的定义,定义：,注：（1）DX是一个确定的非负常数，它的大 小反映了r.v.X对于EX的平均偏离水平。,（2）若EX不存在，则DX一定不存在； 若EX存在，则DX不一定存在。,2. 随机变量方差的计算,例 均匀分布的方差,则有,3. 方差的性质,(1) 设 C 是常数, 则有,(3) 设 X 是一个随机变量, a是常数, 则有,解：,练习：,（1）原点矩,定义：,（2）性质,练习： 1、对任意的随机变量X，如果存在 那么下列式子恒成立： . ( ) 2、学习指导与习题解析 一（9）,注：DX为二阶中心矩。,2、切比雪夫不等式,-r.v.X取值越集中在EX附近,-r.v.X取值越分散,得,证明,对连续型随机变量的情况来证明.,注：可用此不等式对r.v.X的概率分布进行 粗略的估计。,例：,已知EX=1，标准差为0.1，求a，使得,解：,由切比雪夫不等式,则,Pafnuty Chebyshev,Born: 16 May 1821 in
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