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第2章 随机变量及其分布,湖北大学材料科学与工程学院,尚勋忠,第三节 随机变量的分布函数,随机变量分布函数的定义 分布函数的性质 小结 布置作业,一、分布函数的定义,设 X 是一个 r.v，称,为 X 的分布函数 ,记作 F (x) .,(1) 在分布函数的定义中, X是随机变量, x是参变量.,(2) F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.,(3) 对任意实数 x1x2，随机点落在区间( x1 , x2 内 的概率为：,P x1X x2,因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.,=P X x2 - P X x1 ,= F(x2)-F(x1),请注意 :,分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量.,当 x0 时， X x = ， 故 F(x) =0,例1,设 随机变量 X 的分布律为,当 0 x 1 时， F(x) = PX x = P(X=0) =,求 X 的分布函数 F (x) .,当 1 x 2 时， F(x) = PX=0+ PX=1= + =,当 x 2 时， F(x) = PX=0 + PX=1 + PX=2= 1,故,注意右连续,下面我们从图形上来看一下.,的分布函数图,设离散型 r .v X 的分布律是,P X=xk = pk , k =1,2,3,F(x) = P(X x) =,即F(x) 是 X 取 的诸值 xk 的概率之和.,一般地,则其分布函数,二、分布函数的性质,(1),如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件.,(3) F(x) 右连续，即,(2),试说明F(x)能否是某个r.v 的分布函数.,例2 设有函数 F(x),解 注意到函数 F(x)在 上下降， 不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.,不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是r.v 的分布函数.,或者,解 设 F(x) 为 X 的分布函数，,当 x 0 时，F(x) = PX x = 0,0,a,当 x a 时，F(x) =1,例3 在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 0, a中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.,当 0 x a 时， P0 X x= kx (k为常数 ),F(x) = PX x = PX0+ P0 X x,=x / a,故,这就是在区间 0，a上服从均匀分布的连续型随机变量的分布函数.,三、小结,在这一节中，我们学习了
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