2011届高三数学三角函数模型的简单应用.ppt

要点梳理 1.用五点法画y=Asin(x+)一个周期内的简 图时，要找五个特征点.如下表所示.,0,基础知识 自主学习,函数y=Asin(x+)的图象及三角函数模型的简单应用,2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(x+) 的图象的步骤如下:,各点的纵坐标变为原来的A倍,各点的纵坐标变为原来的A倍,以上两种方法的区别:方法一先平移再伸缩;方 法二先伸缩再平移.特别注意方法二中的平移量. 3.当函数y=Asin(x+)(A0,0,x(0,+) 表示一个振动时，A叫做 ， 叫做 ， 叫做 ，x+叫做 ， 叫做 . 4.三角函数的图象和性质.,振幅,周期,相位,初相,频率,5.三角函数模型的应用 (1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象. (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函 数模型. (3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点 图进行函数拟合，从而得到函数模型.,基础自测 1.（2009湖南理，3）将函数y=sin x的图象向 左平移(02)个单位后，得到函数 的图象，则等于（ ） A. B. C. D. 解析 将函数y=sin x的图象向左平移(0 2)个单位得到函数y=sin(x+),在A、B、C、 D四项中，只有,D,2.为了得到函数 xR的图象，只 需把函数y=2sin x,xR的图象上所有的点( ) A.向左平移 个单位长度，再把所得各点的横 坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） B.向右平移 个单位长度，再把所得各点的横 坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） C.向左平移 个单位长度，再把所得各点的横 坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） D.向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐 标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）,解析 将y=2sin x的图象向左平移 个单位得到 y=2sin 的图象，将y=2sin 图象上各 点横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得 到 的图象，故选C. 答案 C,3.已知函数f(x)=asin x-bcos x(a、b为常数， a0,xR)在 处取得最小值，则函数 A.偶函数且它的图象关于点（，0）对称 B.偶函数且它的图象关于点 对称 C.奇函数且它的图象关于点 对称 D.奇函数且它的图象关于点（，0）对称,( ),解析 据题意，当 时，函数取得最小值，由 三角函数的图象与性质可知其图象必关于直线 对称， 故必有 故原函数f(x)=asin x+acos x=,答案 D,0,4.将函数y=sin 4x的图象向左平移 个单位，得 到y=sin(4x+)的图象，则等于（ ） A. B. C. D. 解析 将函数y=sin 4x的图象向左平移 个 单位后得到的图象的解析式为,C,5.（2008浙江理，5）在同一平面直角坐标系 中，函数 的图象和 直线 的交点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 解析 函数 图象如图所示，直线 与该 图象有两个交点.,C,题型一 作y=Asin(x+)的图象 已知函数 (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明 的图象可由y=sin x的 图象经过怎样的变换而得到. (1)由振幅、周期、初相的定义即可 解决. (2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点. (3)只要看清由谁变换得到谁即可.,题型分类 深度剖析,解 （1） 的振幅A=2,周期,X,X,方法一 把y=sin x的图象上所有的点向左平移 个单位,得到 的图象,再把 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标 不变),得到 的图象,最后把 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不 变），即可得到 的图象.,方法二 将y=sin x的图象上每一点的横坐标x缩 短为原来的 倍,纵坐标不变,得到y=sin 2x的 图象； 再将y=sin 2x的图象向左平移 个单位； 得到 的图象；再将 的图象上每一点的横坐标保持不变, 纵坐标伸长为原来的2倍，得到 的图象.,（1）作三角函数图象的基本方法就是 五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后， 应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象； （2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后 伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 来确定平移单位.,知能迁移1 已知函数 （1）用五点法作出函数的图象； （2）说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样 的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相； （4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：,描点、连线,如图所示：,（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y=sin x的图象上所有点向右平移 个单位， 得到 的图象；再把 的 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标 不变），得到 的图象，最后将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原 来的3倍（横坐标不变），就得到 的图象.,方法二 “先伸缩，后平移” 先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍（纵坐标不变），得到 的图象；再 把 图象上所有的点向右平移 个单位， 得到 的图象，最后将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原 来的3倍（横坐标不变），就得到 的图象.,题型二 求函数y=Asin(x+)+b的解析式 如图所示为y=Asin（x+） 的图象的一段，求其解析式. 首先确定A.若以N为 五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是 先下降后上升（类似于y=-sin x的图象），所 以A0.而 可由相位来确定.,解 方法一 以N为第一个零点， 方法二 由图象知A= ，,(1)已知函数图象求函数y=Asin(x+) (A0,0）的解析式时，常用的解题方法是待定系 数法，由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定 ，由适合解析式的点的坐标来确定,但由图象求得 的y=Asin（x+）（A0,0）的解析式一般不惟一，只有限定的取值范围，才能得出惟一解，否则 的值不确定，解析式也就不惟一.,（2）将若干个点代入函数式，可以求得相关待定 系数A，这里需要注意的是，要认清选择 的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正确 代入式中.依据五点列表法原理，点的序号与式子 的关系是：“第一点”（即图象上升时与x轴的交 点）为x+=0；“第二点”（即图象曲线的最 高点）为 ；“第三点”（即图象下降时 与x轴的交点）为x+=；“第四点”（即图象 曲线的最低点）为 ；“第五点” 为x+=2.,知能迁移2 (2009辽宁理，8)已 知函数f(x)=Acos(x+)的图象 如图所示， ,则 f(0)=（ ） A. B. C. D. 解析 由题意可知，,答案 C,题型三 函数y=Asin(x+)的图象与性质的 综合应用 （12分）在已知函数f(x)=Asin(x+), xR(其中A0,0,0 )的图象与x轴的 交点中，相邻两个交点之间的距离为 且图象 上一个最低点为 (1)求f(x)的解析式； (2)当 时，求f(x)的值域. 易知T=，A=2，利用点M在曲线上可 求，第（2）问由函数图象易解，关键是将 x+看成一个整体.,解,1分,3分,5分,6分,解题示范,认识并理解三角函数的图象与性质是 解决此题的关键.图象与x轴的两个相邻交点间的 距离即为半个周期.在求函数值域时,由定义域转 化成x+的范围.即把x+看作一个整体.,8分,10分,12分,知能迁移3 已知向量a=(cos x,sin x), b=( cos x,cos x)，若f(x)=ab+ . (1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴 方程； (2)求函数f(x)在区间 上的值域. 解 （1）f(x)=ab+ = cos2x+sin xcos x+,方法与技巧 1.五点法作函数图象及函数图象变换问题 (1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法” 是作函数图象的快捷方式.运用“五点法”作正、 余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意 曲线的凹凸方向. (2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移， 后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在 题目中，所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形， 切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要 看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少.,思想方法 感悟提高,2.由图象确定函数解析式 由函数y=Asin（x+）的图象确定A、 的题型，常常以“五点法”中的第一零点 作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零 点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 3.对称问题 函数y=Asin（x+）的图象与x轴的每一个交 点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x,A) 的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对 称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值 是半个周期（或两个相邻平衡点间的距离）.,失误与防范 1.由函数y=sin x(xR)的图象经过变换得到函 数y=Asin(x+)的图象，在具体问题中，可 先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后 平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x 前面的系数提取出来. 2.函数y=Asin(x+)的图象和性质是本节考查 的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数 形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心 和单调区间等.,3.注意复合形式的三角函数的单调区间的求法.函 数y=Asin（x+）（A0,0）的单调区 间的确定，基本思想是把x+看做一个整体. 在单调性应用方面，比较大小是一类常见的 题目，依据是同一区间内函数的单调性.,一、选择题 1.（2009山东文，3）将函数y=sin 2x的图象向 左平移 个单位，再向上平移1个单位，所得图 象的函数解析式是（ ） A.y=2cos2x B.y=2sin2x C. D.y=cos 2x 解析 将函数y=sin 2x的图象向左平移 个 单位，得到函数 即 的图象，再向上平移1个单位，所得图 象的函数解析式为y=1+cos 2x=2cos2x.,A,定时检测,2.将函数 的图象上各点的纵坐标不 变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 个 单位，所得到的图象解析式是 （ ） A.f(x)=sin x B.f(x)=cos x C.f(x)=sin 4x D.f(x)=cos 4x 解析,A,3.若函数y=Asin(x+)+m的最大值为4,最小值为0, 最小正周期为 ，直线 是其图象的一条对 称轴，则它的解析式是 （ ）,解析,答案 D,4.（2009全国文，9）若将函数y=tan(x+ ) (0)的图象向右平移 个单位长度后，与函 数y=tan(x+ )的图象重合,则的最小值为( ) A. B. C. D. 解析,D,5.电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数 I=Asin(t+ )（A0,0,0 ）的图象 如下图所示，则当 秒时，电流强度是 （ ） A.-5 安 B.5 安 C. 安 D.10 安,解析,答案 A,6.（2009天津理，7）已知函数f(x)=sin(x + )(xR，0)的最小正周期为,为了得 到函数g(x)=cos x的图象，只要将y=f(x)的图 象（ ） A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度,解析,答案 A,二、填空题 7.（2009江苏，4）函数y=Asin(x+) (A、为常数,A0,0)在闭区间 -,0上的图象如图 所示，则= . 解析 由函数y=Asin(x+) 的图象可知：,3,8.（2008全国改编）若动直线x=a与函 数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象分别交于M、 N两点，则|MN|的最大值为 . 解析 设x=a与f(x)=sin x的交点为M(a,y1), x=a与g(x)=cos x的交点为N（a，y2）， 则|MN|=|y1-y2|=|sin a-cos a|,9.若函数f(x)=2sin x (0)在 上单调 递增，则的最大值为 . 解析,三、解答题 10.已知函数 f(x)=Asin(x+)+ b(0,| )的图象的一部 分如图所示： （1）求f(x)的表达式； （2）试写出f（x）的对称轴方程. 解 （1）由图象可知，函数的最大值M=3，,11.函数y=Asin(x+)(A0,0,| ）的一 段图象如图所示. （1）求函数y=f(x)的解析式； （2）将函数y=f