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专升本微积分辅导,专升本微积分辅导,刘梓修 编写,前方有险阻 只要肯登攀,第一章：函数 第二章：极限与连续 第三章：导数与微分 第四章：中值定理及导数应用 第五章：不定积分 第六章：定积分与广义积分 第七章：偏导数与全微分 第八章：二重积分,辅导内容,第一章: 函 数,1定义： （1）构成函数的两要素：定义域D,对应规则f; （）当两个函数的定义域和对应规则分别相同时，则可确定这两个函数相同；反之有一个不相同时，就认为是两个不同的函数,一、基本概念及结论,例1.在下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）,分析： （A）不能选，因为 的定义域为,的定义域是R；（B）不能选，因为定义域不同；,（D）不能选，因为定义域不同；只能选（C），因为两,个函数的定义域相同，对应规则也相同.,由,故 的定义域为,分析:先求反函数,而反函数的定义域就是原来函数的值 域.,2.分段函数与隐函数 （1）.分段函数：如果变量x与y的函数关系是由两个或两个以上的解析式给出的称分段函数.含绝对值符号的函数也是分段函数.如,分段函数至少有1个以上的分段点，分段点两侧的函 数表达式是不同的，因此讨论分段点处的极限、连续、 导数等问题时，必须分别讨论左、右极限，左、右连 续和左、右导数，分段函数一般不是初等函数，不能用 初等函数在定义域内皆连续这个定理.,（2）.隐函数：形如 的函数称为显函数， 如果自变量x与应变量y的函数关系是由方程 给出的，称为隐函数.有些隐函数可以化为显函数，但不一定是单值函数，而有些隐函数则不能化为显函数.,3.复合函数与反函数,（1）复合函数：若 是 的函数 ， 又是 的函数 ，且 能使 有意义，,u是中间变量，y是因变量,例如：,（）严格单调（一一对应）的函数才有反函数,解： （1）当,（2）当 时，,（3）当 时，,所以 的值域为,基本初等函数与初等函数,基本初等函数：定义、性质、图形非常重要，特别是 图象要很清晰.有助于讨论函数的性质及运算.如：,初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算和复合 步骤所构成的并且可由一个解析式表示的函数统称为初 等函数,若f(x)的定义域关于x=0点不对称，则不可能是奇函 数或偶函数。Y=c(c为非零常数)是偶函数，y=0既是 奇函数也是偶函数， 是非奇非偶的函数,（2）积分形式的函数：,注：判定一个函数的奇偶性主要根据定义，有时也 用其运算性质：奇函数的代数和为奇函数，偶函数 的代数和为偶函数；偶函数的积为偶函数；偶数个 奇函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数； 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。而,定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言。,(2)周期性,注:求给定函数的周期或有关函数周期性的证明,主 要是利用周期函数的定义及周期函数的运算性质.,(3)有界性,注:证明或判定函数的有界性主要依据是: 1.有界性的定义; 2.闭区间上的连续函数是有界的，如果 上连续，且 则 上有界； 3.有极限的数列必有界.,(4)单调性,*对数函数与指数函数在其定义域内是严格单调的.,注:已知函数可导时,利用一阶导数判定其单调性;未 告之可导时,用单调性定义判定.,分析： （B）不成立，举反例,故应选（A），事实上，有,是偶函数,二、基本问题与解法,问题(一):求函数定义域,1.求由一个解析式解出的函数的定义域,运算依据:,运算方法： （1）根据滿足的条件由外到内列不等式（组）； （2）解不等式（组），借助数轴找各不等式解的 公共部分即为函数的定义域（一般用区间表示）。,例1.求下列函数的定义域（连续区间）,2.已知 的定义域求 的定义域 运算方法：将 视为x，由 的变化范围确定x的变化范围即为 的定义域.,运算方法：由 的定义域知道 的变化范围， 再由 的变化范围求得 的变化范围即为 的定义域.,的定义域.,4.已知 的定义域，求 的定义域,运算方法：由 的定义域求 的定义域，再由 的定义域求,.,分析：由题意知，,故由,5.利用函数 的值域求其定义域,分析:先 求的表达式,再解不等式,或,问题(二)：求函数关系与函数表达式,1.已知 求 代入法,运算方法：将 中的 换成 并加以整理,2.已知 求,方法一：将 化为 的函数 ，,1.已知 求 代入法,再根据函数表示与自变量用什么字母表示无关的特性 求得,方法二(变量代换法):令 求得 代入原,3.已知,4.已知 及 的表达式求,运算方法:变量代换,解方程组,4.求反函数的表达式 运算方法： （1）从y=f(x)中解岀 （2）对换x,y的位置，即得反函数 (3)y=f(x)的值域即为 的定义域.分段函数的反,函数要分段求，并同时确定各段反函数所定义的区间.,问题(三):函数简单性质的判定,例1.判定下列函数的奇偶性,有,所以为奇函数.,（4）对任意不等于 的 点，有,所以为偶函数.,（5）对,所以为奇函数.,少有个零点.,分析：根据闭区间上连续函数的性质，应选（B）,分析:,例3.判别下列函数的奇偶性,（ ）.,（A）单调；（B）有界；（C）反函数存在；（D）至,三、课后练习,分析：,6.已知,8.函数 内有反函数 存在，则,必为（ D ）.,存在，但显然