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文档简介
北师大版高中数学选修4-2 多媒体课件,矩阵变换的特征值与特征向量,复习,若向量= ,利用逆矩阵解二元一次方程组,则与共线,即与平行,即.,表示一个压缩变换,关于y轴的反射变换,一般地,给定矩阵M,若存在一个非零向量和实数,满足 M = 则称为矩阵M的特征值, 为矩阵M的属于特征值的特征向量.,特征向量变换后的像与原向量是共线的,特征向量的不变换性,还有没有其他的特征值和特征向量?,如何确定矩阵的特征值和特征向量呢?,实例分析,由定义知,特征向量是非零向量,将问题转化为:二元一次方程组何时有非零解.,存在逆矩阵N-1,M 无特征向量,当 2-5-24 = 0 时, 才可能是M的特征值,解方程得 1 =8 2 =-3,将 1 =8 代入 (5.2),1 =8 是M的特征值,都是属于特征值1 =8 的特征向量.,将 2 =-3 代入(5.2),x+y=0,对每一个x0的值,都是属于2 =-3的特征向量,2 =-3 是 M 的特征值,对于矩阵M,若有特征值及相应的特征向量, 即M=,则对任意实数t(t0),t也必是矩阵 M 对应于特征值的特征向量.,由于它们是共线的,堂上练习,1.求下列矩阵的特征值和特征向量,堂上练习,2.利用特征向量的定义证明,若 是矩阵M对应于特征值 的特征向量,则 t(实数t0)也必是矩阵 M 对应于特征值 的特征向量.,抽象概括,若矩阵 M 存在特征值,及其对应的特征向量,因此,矩阵M的特征值必须满足方程,方程的根即为矩阵 M 的特征值,一个二阶方阵最多可以有两个特征值,方程最多有两根,解得特征值代入,当 b0 时,由( - a ) x by = 0,当x0时,例1,解,矩阵M的特征值 满足方程,解得 M 的两个特征值 1=2, 2=3,设属于特征值 1=2 的特征向量为,满足方程组,这样的向量有无穷多个,可表示为,为属于特征值1=2的一个特征向量,设属于特征值 2=3 的特征向量为,满足方程组,这样的向量有无穷多个,可表示为,为属于特征值2=3的一个特征向量,对上例中,连续实施n次矩阵M的变换,则,一般地,当矩阵M有特征值及对应的特征向量 ,即 M = 则有 Mn = ,给定两个不同线向量1,2及任意向量,总存在实数s,t, 使得 = s1 + t2,如果矩阵M 有两个不同线的特征向量1,2 ,及其相应的特征值1,2 ,有 M1= 1 1 , M2= 2 2,对任意向量有,M=M(s1 + t2)=s(M1)+ t(M2)= s( 11)+ t(22),变换结果,任意向量在矩阵M 作用下的变换结果均可以用它们表示.,对一般向量连续实施矩阵M 所表示的变换时,M2 = M2(s1+t2),= s ( M21 ) +
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