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现代造船工程应用软件（二）,第二讲 有限元基本原理,现代造船工程应用软件（二）,有限单元法的基本思路,有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。,现代造船工程应用软件（二）,平面问题的有限单元法,现代造船工程应用软件（二）,结构的离散化 用有限元法对结构进行应力分析时，首先要将结构进行离散化。即将一个连续体看成由有限个单元组成的体系。弹性力学平面问题中最常见的单元是三角形单元。 所有作用在单元上的载荷都按静力等效的原则移置到结点上，并在受几何约束的结点处设置相应的铰支座。这样就得到了用以代替原来弹性体的有限单元计算模型。,现代造船工程应用软件（二）,位移模式 取一个典型的三角形单元进行力学分析。在有限单元位移法中，假设结点上的位移是基本未知量。为了能用单元的结点位移表示单元中的应变和应力分量，必须假定一个位移模式，也就是说根据单元的结点位移去构造单元上的位移插值函数。,现代造船工程应用软件（二）,现代造船工程应用软件（二）,位移插值函数,采用线性插值，即假定单元上的位移分量是坐标的线性函数： 它们可以由结点位移确定如下：,Definition,现代造船工程应用软件（二）,位移模式(续),联立求解上述方程，可得：,现代造船工程应用软件（二）,位移模式(续),其中： 而： 是三角形ijm的面积。,现代造船工程应用软件（二）,位移模式(续),于是可以得到： 其中： 同理得：,现代造船工程应用软件（二）,位移模式(续),可以将位移模式改写为矩阵模式：,现代造船工程应用软件（二）,单元中的应变和应力,有了单元的位移模式，就可以借助平面问题的几何和物理方程，导出用单于的结点位移表示单元中的应变和应力分量的公式。 由：,现代造船工程应用软件（二）,单元中的应变和应力(续),得到： 或简写为：,现代造船工程应用软件（二）,单元中的应变和应力(续),将应变代入物理方程： 可得： 即为用单元中的结点位移表示单元中应力的关系式。,现代造船工程应用软件（二）,单元中的应变和应力(续),式中D为弹性矩阵，对于平面应力问题，矩阵为：,现代造船工程应用软件（二）,单元的总势能,我们已经知道由各个单元的位移模式就形成了整个结构的位移模式。按弹性力学最小势能原理，结构中最接近于真实解的位移应该是使结构总势能取得最小值的那组位移函数。 由于在位移函数公式中，结点位移为自变量，这样就使一个泛函的极值问题变为一个多元函数的极值问题。为此我们来讨论单元的总势能关于结点位移的表达式。 每一个单元的总势能由该单元的应变能以及此单元上所有外力的势能组成。,Definition,现代造船工程应用软件（二）,单元的应变能,平面应力状态下，设物体厚度为h，则单元中的应变能为：,Definition,现代造船工程应用软件（二）,单元的应变能（续）,将和Bi代入上式，应用矩阵相乘的转置的逆序法则,注意到弹性矩阵D的对称性,有：,现代造船工程应用软件（二）,单元的应变能（续）,因为矩阵B及D的元素都是常量，所以可记：,现代造船工程应用软件（二）,单元的应变能（续）,从而单元的应变能可写为： 利用=Be，有：,现代造船工程应用软件（二）,单元的应变能（续）,注意到B=Bi Bj Bm，记子矩阵,现代造船工程应用软件（二）,单元上体积力的势能,物体中常见的体力为旋转离心体力和重力。在平面问题中，体积力在z轴方向的分力为零，设单元体积中的体积力为： 单元上体积力具有的势能为：,Definition,现代造船工程应用软件（二）,单元上表面力的势能,设物体边界上一单元某边上受到表面力的作用，单位长度上所受到的表面力为： 则单元上表面力的势能为：,Definition,现代造船工程应用软件（二）,单元节点上集中力的势能,如果弹性物体受到集中力Re 的作用，通常划分单元网格时都在集中力的作用点设置结点。设某单元3个结点上所受到的集中力为： 于是该单元上集中力的势能是：,Definition,现代造船工程应用软件（二）,单元中的总势能,综合前面的几种情况，可以得到单元中的总势能为：,Definition,现代造船工程应用软件（二）,单元中的总势能,分别引进单元体积力，表面力，集中力向量如下：,Definition,现代造船工程应用软件（二）,单元中的总势能,则单元中的总势能可以表示为：,Definition,现代造船工程应用软件（二）,物体中的总势能,把各单元的总势能叠加起来，就可得到整个弹性体的总势能。为了便于叠加和归并，需将单元刚度矩阵表达式作适当的改写。 假设结构离散化后共有n个结点，将编号为 l的结点位移记为： 则结构的结点位移向量： 是一个2n维的列向量。,Definition,现代造船工程应用软件（二）,物体中的总势能（续）,可将单元刚度矩阵式用补零的办法由6X6的矩阵扩大到2nX2n的矩阵,现代造船工程应用软件（二）,物体中的总势能（续）,如果在物体上划分的单元总数是e0,再引进 结构的总刚度阵： 物体总势能就可写为：,现代造船工程应用软件（二）,物体中的总势能（续）,代入约束条件后的弹性体总势能可以写为：,现代造船工程应用软件（二）,空间问题的有限单元法,现代造船工程应用软件（二）,空间问题的有限单元法,用有限单元法求解弹性力学空间问题，首先也要将连续的空间物体用一系列的单元离散化。 空间问题中，最简单的是四面体单元。离散的空间结构是这些单元只在节点处以空间铰相互连接的集合体。,Definition,现代造船工程应用软件（二）,空间问题的有限单元法（续）,现代造船工程应用软件（二）,位移模式,空间问题中，每一个结点有3个位移分量，单元结点位移向量由12个分量组成，分别表示为：,Definition,现代造船工程应用软件（二）,位移模式（续）,假定单元内的位移分量为坐标的线性函数:,现代造船工程应用软件（二）,位移模式（续）,将上式中的第一式应用于4个结点，则有：,现代造船工程应用软件（二）,位移模式（续）,由上式可解出a1,a2,a3和a4再代回位移分量的表达式，可得： 式中： 为形函数，其中：,现代造船工程应用软件（二）,位移模式（续）,现代造船工程应用软件（二）,位移模式（续）,用同样的方法，可以得到： 合并,的表达式，可以将单元内任一点的位移写为：,现代造船工程应用软件（二）,单元中的应变和应力,在空间问题中，每点有6个应变分量，由几何关系：,Definition,现代造船工程应用软件（二）,将,的表达式代入上式，得到: 式中：,单元中的应变和应力(续),现代造船工程应用软件（二）,单元中的应变和应力(续),可以看出，应变矩阵B中的元素都是常量，从而单元中的应变都是常量，故线性位移模式的四面体单元是常应变单元。 由应力-应变关系，得到单元中的应力为： 式中D为一般空间问题的弹性矩阵 从下面D的表达式可以看出，单元中的应力都是常数。,现代造船工程应用软件（二）,单元中的应变和应力(续),现代造船工程应用软件（二）,Definition,单元刚度矩阵和结点载荷向量,仿照平面问题的推导，可以得到四面体单元的刚度矩阵： 分块形式：,现代造船工程应用软件（二）,单元刚度矩阵和结点载荷向量,式中子矩阵可以表达为： 其中：,现代造船工程应用软件（二）,单元刚度矩阵和结点载荷向量,经过与平面问题中同样的推导，单元的体积力向量和表面力向量可以用下列公式计算： 经叠加，组合，得有限元支配方程： 代入约束条件，可解出结点位移向量，从而就可以求出各单元的应变和应力。,现代造船工程应用软件（二）,有限单元法解题的一般步骤,现代造船工程应用软件（二）,结构的离散化 单元刚度阵 总刚度阵 外载荷 建立结构矩阵平衡方程 施加边界条件，进行约束处理 求解节点位移 计算单元中的应力和应变等未知量,现代造船工程应用软件（二）,F = 10000 磅,L = 10 英寸,L = 10 英寸,面积 A = 1.5 英寸2 弹性模量 E = 10106 磅/英寸2,面积 A = 2.0 英寸2 弹性模量 E = 10106 磅/英寸2,例子：,1、结构离散,L=10英寸 A